V. — Rapport des chaleurs spécifiques des gaz réels

Nous allons pouvoir, en imitant les transformations analytiques par lesquelles nous avons établi la formule

C ^ m — p c " px -p

pour les gaz parfaits soumis à une compression Jinie, montrer qu'elle subsiste pour les gaz réels, dans le cas d'une compression infiniment petite, ou du moins assez faible pour qu'on soit en droit de négliger les carrés de t«j — /? et de />| — p devant ces différences elles-mêmes. C'est là un résultat qui a déjà été indiquée mais sans démonstration satisfaisante.

Pour l'établir en toute rigueur, nous partirons de la relation générale (3) et nous en rapprocherons la formule (Chap. X, § IV)

logarithmes suivant les puissances de ces diffcrenccs, par la furmulc

log ( I -+- j: ) — X H-

et s^en tenir au premier terme de chaque développement, ce qui donne bien

iM. Bertrand a signalé un fait analogue pour le coefficient économique maximum d'une machine fonctionnant entre les températures T et T'>T. En calculant ce coefficient dans riiypothcse de l'indcstruclibilité du calorique, il l'a trouvé égal à

ïog Y --- -log(^r - — J

Si Ton suppose T' très voisin de T, qu'on développe le logarithme en série et

qu'on néglige le carré de T' -- T, on arrive à la valeur — ^1,7— > prccédemmeut obtenue (Chap. VI, § III).

vraie d'un corps quelconque. 11 conviendra pour notre objet de prendre p et v comme variables indépendantes. Dès lors, l'équalion caractéristique du fluide considéré s'écrira

et les deux relations qu'il s'agit de combiner prendront respectivement les formes

(m-+-iJL)c(T'- T) — — AfxTHîp — Am / (—-/>) //p — A |jl / ljj-—p)dv^

(i-i) - AT = (G--c)^;,f^.

A raison des hypothèses faites, le poids [jl et les différences

TS - p, W--piy Pi— Pi V- O, V—W, Ç — (V

sont des quantités très petites du même ordre, dont on néglige les carrés. Les deux intégrales ci-dessus sont de l'ordre de grandeur de p — w et cp — iv, et, comme la seconde est multipliée par [JL, elle doit être négligée. La première a pour partie principale

à cause de la valeur trouvée pour (r. Nous devons donc écrire, en négligeant ui devant m,

mc(T-T)=-- A f. [m^ -f-r (!-/>) J.

Enfin, comme la différence mo — pi> est très petite et doit être négligée devant ï, il reste simplement

Substituons dans celte équation la valeur de AT tirée de la relation (12); nous aurons

Telle est l'équation d'oij il s'agit d'éliminer tout ce qui n'est pas l'une des pressions tu, /)<, p, A cet effet, nous écrirons les deux

CHAP. XI. — GAZ PARFAITS ET GAZ RÉELS. 2o5

équations qui se rapportent au début de Texpérience

et les deux qui concernent le poids /w -f- [jl de gaz contenu dans le ballon, avant et après rétablissement de Tégalité de température avec le milieu ambiant,

(i4) T=^{w,iv),

(II)' T = ^{pi,iv).

Ces deux dernières relations donnent immédiatement

ou, à l'ordre d'approximation adopté,

T'— T =: (m— Pi) ^'p(p, w).

Cette valeur de T' — ï, portée dans Téquation (3)', la réduit à

Pour éliminer le rapport [Kl m, rapprochons les formules (i3) et (14/; il vient

les termes non écrits devant être négligés. On tire de là

ç — iV = -— ,

et, comme on a

V — tv =

on doit, puisque [x est négligé devant //i, écrire

Avec cette valeur du rapport cherché, l'équation (3)" devient

c{xa -pi) = (G — c) (/?!—/?),

2o6 THERMODYNAMIQUE GÉNÉRALE.

et Ton en tire immédialement

c " jH — 'p'

ainsi que nous nous proposions de rétablir.