CHAP. XI. — GAZ PARFAITS ET GAZ RÉELS

Tout près du front de l'onde, mais à V extérieur^ a étant partout identiquement nul, -^ l'est aussi, et la formule (19) se réduit à

dp C dp

doi c doi

valeur en général toute différente de la précédente. On voit que, si p varie d'une manière continue quand on traverse la surface de l'onde, il n'en est pas de même de sa dérivée par rapport à co. C'est donc un problème d'Hydrodynamique tout à fait nouveau que nous avons à nous poser.

Un fluide est primitivement en repos, ou animé d'un mouvement caractérisé par les valeurs m, ç', w, co, p =y(ci)). A un certain moment, ce mouvement est troublé par un ébranlement, et, au temps ty cet ébranlement s'est propagé jusqu'à une certaine surface, à l'intérieur de laquelle le mouvement est caractérisé par les valeurs 1/', i^', w', co', ^' = F(<o'); c'est-à-dire qu'au point (x, y y z) où l'on observerait les vitesses m, v, (v, le volume spécifique Cl) et la pression p^ si le mouvement primitif n^ avait pas été modifié par l'effet de l'ébranlement, on a, en réalité, en ce même instant, les vitesses 1/', v'^ w', le volume spécifique co' et la pression p' dans le mouvement effectif {mouvement troublé). En conséquence, quand nous appliquerons l'une des formules (17)', (18) et (19) au mouvement troublé, nous devrons y remplacer co par co'.

Écrivons la première des trois équations de l'Hydrodynamique (la seule dont nous aurons besoin par la suite) et l'équation de continuité. On aura, pour le mouvement primitif,

, . dp du du du du .

dx dx Oy dz dt

doi du} dui diû /du dv div\

pour le mouvement troublé,

, ,, , dp' , du' , du' , du' du' ^

, , ,dw' ,disi' ,dto' doj' ,/du' dv' dw'\

<*'> "â^-^" T^-^*^ dJ+^='-(5F + JF--^j•

Posons, pour abréger,

Grâce à la continuité supposée, qui d'ailleurs doit exister dans la nature, on a, sur la surface de Vonde,

La dernière condition to'= w ne résulte pas de la précédente p' =ip^ parce que les deux fonctions /et F sont différentes.

Considérons un point M de la surface de l'onde; prenons pour axe des x la normale extérieure en ce point, pour plan des yz le plan tangent. En exprimant que U, V, W, P et û doivent être nuls lorsqu'on se déplace dans les directions de My et de M^ sur la surface de l'onde à partir de M, on trouve immédiatement

ày ~~ ôy ~~ Oy ^ dy ^ Oy ^ '

<^U . ^Y - f^Y - ^ !^ Oz àz Oz dz dz

Au bout du temps l' = t -^^ dt^ Tonde s'est déplacée de M en M'. En M' sur la nouvelle surface d'onde, U, V, W, P et û doivent encore être nuls, c'est-à-dire que l'on a

d\} d\} d\} dx

dt àt "^ Ox dt ^'

et de même

d\ d\ dx o\y 0\\ dx ôt "^ âx dt '^' Ot ' Ox dt

dP OP dx OU OU dx Ot Ox dt " *^' Ot "^ Ox ~dt

dv Dans ces formules, -^~ est la vitesse normale de propagation de

l'onde, qui s'introduit ici, dx étant la distance MM'.

Si maintenant nous retranchons membre à membre les équations (20) et (20)', supposées écrites pour un point de la surface de l'onde, et que nous ayons égard à toutes les conditions précédentes, nous trouverons simplement

, , ,c^P OV^fdx \

('^^) "^ -Ole - Ô^Vdt - '') - ""'

CHAP. Xf. — GAZ PARFAITS ET GAZ RÉELS. 311

Avant (le combiner les deux équations de continuité, remarquons que l'on a en général

dp , Oui dp' âoi'

d'où résulte, en un point de la surface de l'onde (où ci)'= w),

âoi' âta I dp' \ dp \ dP

dx dx F'(w') dx /'(<*)') dx ¥' dx

Vf fj'dx

On aura des relations analogues entre les dérivées par rapport à y, à 2 et à ^; pour les points de la surface de Inonde, ces relations deviennent

/ I ^ \^P ^ i dP d.T / I ï \dp

' [W '' f ) dt ~' ~' F d^ ~di '^ \F' ~ f ) di'

doi' du> I dP

dt dt F' dt

Cela posé, retranchons les deux équations de continuité (ai) et (ai y, supposées aussi concerner un point de la surface de l'onde. Si l'on tient compte de toutes les conditions particulières à ces points, on trouvera

/ ox / I ^\l ^P ^P àp dp\ I dP fdx \ ,d\}

Mais, si l'on suit un élément de volume dans le mouvement primitif, on aura

dp dp dp dp dp

dt dx dy dz dt

ce qui réduit l'équation précédente à / o.r / ' ^\dp I dP fdx \ , au

La différence —n — w est l'excès de la vitesse de propagation de

l'ébranlement sur la vitesse normale des particules matérielles; nous la désignerons par une seule lettre

j. dx

ai a THERMODYNAMIQUE GÉNÉRALE.