TI
et nous éliminerons ^ entre les équations (22) et (23)'. Nous trouverons ainsi
équation du second degré qui donnera Ç, si l'on connaît le régime des pressions, sans connaître celui des vitesses. Une seule racine convient, puisqu'il n'y a qu'un seul sens de propagation : les conditions initiales, supposées connues, permettront de choisir cette racine.
Mais le cas le plus intéressant est celui où le fluide est en repos avant l'ébranlement. Dans ce cas, on a
u = o, p = const.,
quels que soient ^, oc^y, z\ par suite,
dp
D'autre part, la dérivée -r- n'est pas nulle, sans quoi -r- serait
nulle aussi, en vertu de l'équation (22), c'est-à-dire qu'il n'y aurait pas eu d'ébranlement. L'équation (24) ne se réduit donc pas à une identité et donne
(25) ç = /3^;7ÎF'=^-a,'«^,;
On voit que la propagation n'est possible que si/? diminue quand (*>' augmente.
Revenons à l'explosion et prouvons que F(ci)') est une fonction décroissante. Le cas d'une explosion est tout diflTérent de celui de la propagation d*un son : dans ce dernier cas, en effet, l'onde peut avancer en sens contraire du mouvement des particules matérielles; dans l'explosion, au contraire, l'expérience montre que les particules situées un peu en arrière du front de Fonde sont projetées dans le sens de la propagation. Voyons ce qui en résulte. L'équation de continuité pour le mouvement troublé peut
s'écrire
dtù' ,/du' dv' dw'\
CHÀP. XI. — GAZ PARFAITS ET GAZ RÉELS. !2l3
Comme nous supposons le fluide en repos avant l'ébranlement, 2/, p, iv sont Identiquement nuls ; par conséquent on a, sur la surface de l'onde,
dx "" dx '^y ~~ ày dz ~~ ôz
Mais les deux dernières dérivées sont nulles; il vient donc simplement
diù' , du'
ctt Ox
Or, sur la surface d'onde, v! est nul. Si l'onde se propage dans la direction positive de l'axe des a?, c'est-à-dire en avant, iJ est
positif un peu^n arrière; donc t— est négatif, et il en est de
même de diJ .
La formule (17)' devient, pour le mouvement troublé,
dl l I
dvo! c g da *
nous venons de voir que le dénominateur de son premier membre
est négatif. Or le numérateur cTT est évidemment positif, un peu
en arrière de la surface de l'onde. Le second membre doit donc
être négatif; les chaleurs / et c sont toutes les deux négatives, par
suite on doit avoir
g dt
Or ^ et c sont de signes contraires, car l'explosion dégage de la chaleur tandis que l'échauflement à volume constant en absorbe. D'ailleurs, quand on pénètre à l'intérieur de la surface d'onde,
a et T vont simultanément en croissant, donc -^ est positif. D'autre part, la valeur absolue du rapport - est énorme; il faut
donc, pour que l'inégalité ci-dessus ait lieu, que -^ soit très petit.
Maintenant, si la combinaison se fait sans contraction, ^ est nul. Sinon, dans le cas des gaz parfaits, on se rend très facilement compte que - ^ est de même ordre que t^, • Il en résulte que, dans
2l4 THERMODYNAMIQUE GÉNÉRALE.
la formule (19), OÙ (0 a élé remplacée par w', nous pouvons, à cause
de la petitesse de ^, négliger le second terme devant le premier;
d'où
C — c 1 \ dp
c q doL \ dtu'
Cette valeur, substituée dans la formule (25), nous donne, pour la vitesse de Fonde explosive.
q doL
Or, quand a et T restent constants, p et w' variftit en sens contraires; donc ;p7est négatif, tandis que le rapport est positif; de sorte que Ç est réel.
Nous avons vu d'ailleurs que a est une fonction parfaitement déterminée de T, quand on se donne la composition et la pression initiales du mélange. De là résulte ce théorème, dû à Hugoniot :
La vitesse de propagation de Vonde explosive est une quantité constante, parfaitement déterminée, quelle que soit la force de l'explosion initiale, quelle que soit la forme de la surface de Vonde, quelle que soit la forme des parois qui contiennent le fluide; car Ç ne dépend pas de ces diverses conditions.
n drt
De plus, le terme - -^ étant négatif et plus petit que i en valeur absolue, la formule (26) donne évidemment
Ainsi, la vitesse de l'onde explosive est plus grande que la vitesse du son dans le fluide à une température infiniment peu inférieure à la température d'inflammation et a fortiori i^Xus grande que la vitesse du son à la température ordinaire.
CBAP. XII. — DÉFORMATIONS PERMANENTES. 2l5
