IV. — Cas des oscillations ; états naturels

Oscillations de la force de déformation ; de la variable intrinsèque, — Nous avons vu que, de la valeur X de la force de déformation dans un état d'équilibre, on ne peut conclure la grandeur correspondante de la déformation elle-même, indiquée par la valeur x de la variable intrinsèque, parce qu'elle dépend des états antérieurs, c'est-à-dire des valeurs antérieures des deux paramètres X et X, En fait, comme le point figuratif ne peut se déplacer, quand X croît, que sur une courbe (C) de déformation directe et, quand X décroît, que sur une courbe (C) de déformation inverse; comme, d'autre part, il ne passe en un point du plan (\\iune seule courbe de chaque famille, les positions successives de ce point figuratif seront complètement déterminées, si l'on connaît un état (X', x') du corps et la succession des valeurs par lesquelles la force de déformation est passée en variant de X'àX. Le théorème que nous allons établir suppose une loi particulière de variation de la force de déformation, mais il fait alors connaître l'e/a^yî/ia/ d'équilibre, sans qu'il soit nécessaire de connaître Y un des états antérieurs.

Pour le mettre ^n évidence, nous invoquerons le lemme suivant, qui est une conséquence immédiate de ce que nous savons sur les courbes de déformation :

Si la force de déformation oscille constamment entre X

et X', c^ est-à-dire si elle croit de X à X', puis décroit de X' à X, croit de nouveau de IL à X', . , , et ainsi de suite, les positions que le point figuratif occupe successivement sur ^ordonnée X, ainsi que celles qu^il occupe successivement sur l* ordonnée X', ont des ordonnées qui vont toutes en croissant ou toutes en décroissant.

Soit, en effet, M| une position d'équilibre (X, x^) du corps {Jig- 29). Suivons à partir de M| la courbe de déformation directe jusqu'en M', (X', x\) sur l'ordonnée X'; on a nécessairement ^'1 > ^^i . En M', suivons la courbe de déformation inverse jusqu'en

Fig. 29.

M2(X, X2) sur l'ordonnée X. On a certainement x^ <;^|. Mais, si la courbe (C) ne recoupe pas l'arc M| M'^ entre M, et M'^, l'ordonnée X2 est plus grande que x^ \ dans le cas contraire, elle est plus petite que x^. Examinons d'abord le premier cas.

Parlons de M^ en suivant la courbe directe jusqu'en M'^ÇH! ^ x'^ ; puis, à partir de M'^ suivons la courbe inverse jusqu'en M3(X, Xj).

Nous avons supposé jJa^ori; il en résulte nécessairement jjÎj^'^'i > car, si le point M'^ était sur l'ordonnée X', au-dessous de M',, l'arc direct M2M2 couperait l'arc direct M| M, , ce qui ne se peut. Ainsi M!^ est au-dessus de M', . Ceci entraîne x^> X2\ car, si le point M3 était sur l'ordonnée X au-dessous de Ma, l'arc inverse M'^Ms couperait l'arc inverse M', M2, ce qui est impossible. Ainsi les ordonnées des points M|, M2, M3, . • • vont en croissant avec leur indice; les ordonnées des points M',, M'^, . . • vont aussi en croissant avec leur indice.

Pour étudier le second^ cas, partons du point Ni (X, Ç|) sur l'ordonnée X {^fig. 3o) suivant la courbe directe jusqu'en N, (X', Ç'^). On a nécessairement Ç| <?!• A partir de N'^ suivons la courbe inverse jusqu'en N2(X, Ça); nous supposons \i<^ Ç|. D'après cela, l'arc direct N2N2 coupe l'ordonnée X' en un point dont l'ordonnée Ç'j est inférieure à Ç'^, sans quoi l'arc direct N2N2 couperait l'arc direct N| N'^ , ce qui est impossible. Dès lors, traçant l'arc

Fig. 3o.

inverse issu de Nj, on arrive à un point N3(X, Ç3) pour lequel on a nécessairement \%<^\i\ car, si N3 était au-dessus de Nj, l'arc inverse N2N3 couperait l'arc inverse N'^Na. Ainsi les ordonnées des points Nj, N2, N3, ... d'une part, et les ordonnées des points N', , Nj, ... d'autre part, vont en décroissant à mesure que leur indice augmente.

Voici maintenant le théorème qu'il s'agit de démontrer :

Si la force de déformation se fixe à la valeur X, après une infinité d'oscillations lentes entre les valeurs X et X', l'ordonnée correspondante x du point figuratif est déterminée j)ar là même.

Il s'agit, bien entendu, dans cet énoncé, des oscillations étudiées dans le lemme. Supposons qu'une de ces oscillations complètes (de X à X, ou de X'à X') ait eu pour effet d'accro//re l'ordonnée du point figuratif. Alors, en vertu du lemme, toutes les ordonnées des positions successives M|, M2, M3, . . ., M',, M'^, . . . du point figuratif vont en croissant avec leur indice. D'autre part, ces points ne peuvent s'élever au-dessus des points où la courbe

23o THERMODYNAMIQUE GÉNÉRALE.

limite (F) coupe respectivement les ordonnées X et X'. Donc, les points de la première série tendent vers une position limite M sur l'ordonnée X, les points de la seconde vers une position limite M' sur l'ordonnée X', positions qui sont Tune et l'autre parfaitement déterminées. L'ordonnée du point M est l'ordonnée cherchée du point fîguratif.

On raisonnera de même dans le cas où l'une des oscillations complètes aurait eu pour effet de diminuer l'ordonnée du point figuratif. Les points N^, N|, N3, ... étant situés de plus en plus bas sans pouvoir tomber au-dessous du point où la courbe bmite (r') coupe l'ordonnée X, tendront vers un point N bien déterminé de cette droite. Ce sera la position cherchée du point figuratif.

Ainsi la position finale d'équilibre ne dépend que de la valeur X et du sens dans lequel une oscillation complète aura antérieurement fait varier son ordonnée.

Il n'y a d'ailleurs rien de contradictoire à admettre que le point M et le point N sont confondus; mais cela ne résulte pas nécessairement des propriétés que nous avons reconnues aux courbes de déformation.

Par des raisonnements tout à fait analogues à ceux que nous venons d'exposer on établirait la proposition corrélative de celle qui précède, et que nous nous contenterons d'énoncer :

Si la variable intrinsèque se fixe à une valeur x^ après une infinité d^ oscillations lentes entre deux valeurs données x et x\ la force de déformation prend une valeur Ik. parfaitem^ent déterminée.

Des deux théorèmes auxquels nous venons d'arriver il résulte visiblement que les déformations permanentes, quand elles s'effectuent entre deux limites invariables, finissent par devenir cycliques, ou du moins que les courbes successives décrites par leur point figuratif arrivent au bout d'un temps suffisamment long à différer infiniment peu les unes des autres.

Tout cycle étant nécessairement traversé par la ligne (L) des transformations réversibles, il en est de même en particulier des cycles limites qui correspondent soit aux oscillations de la force de déformation, soit à celles de la variable intrinsèque : ainsi les

points que nou^ avons appelés M el N, par exemple, sont d'un côté de (L), les points M' et N' de l'autre côté de (L); leurs ordonnées sont, par suite, comprises entre les ordonnées des points P et P', où la ligne des transformations réversibles coupe les ordonnées X el X'. De même pour les cycles limites correspondant aux oscillations de la variable intrinsèque : leurs abscisses sont comprises entre les abscisses des points où la ligne des transformations réversibles coupe les deux abscisses entre lesquelles se fait l'oscillation de X.

Oscillations infinitésimales ; ligne des états naturels. — En conséquence, si les oscillations, soit de la force de déformation, soit de la variable intrinsèque, sont infiniment petites, les cjcles limites s'évanouissent, et, dans les deux cas, le point figuratif de l'état final appartient à la ligne (L) des transformations réversibles. On pourrait donc construire cette courbe, point par point, en faisant osciller infiniment peu l'une des variables et marquant après chaque expérience la position du point figuratif.

Mais il y a plus. C'est toujours à un état de ce genre qu'arrive un système susceptible de déformation permanente, quand on l'abandonne à lui-même; tel est le cas d'une aiguille aimantée, à raison des variations diurnes très faibles du magnétisme terrestre ; d'un fil tordu, par suite des trépidations. Les points figuratifs des états naturels appartiennent donc tous à la ligne des transformations réversibles, qui, dès lors, se confond avec la ligne des états naturels.