I. — Domaine et objet de la Dynamique

Deux sortes d'irréversibilité, — Pour bien circonscrire le domaine de la Dynamique, rappelons que les systèmes matériels peuvent présenter dans leurs modifications deux sortes d'irréversibilité. Il y a une irréversibilité intrinsèque ou essentielle, qui tient à la nature du système, non à l'action des corps extérieurs. L'état d'un système à irréversibilité essentielle ne peut pas être déiini par ce que nous avons appelé des variables intrinsèques, actuellement mesurables. Ainsi, un fil qui a éprouvé un étirement ou une torsion irréversible a une température et une longueur ou une torsion connues : ce sont là les seules variables intrinsèques que nous puissions relever; mais ces deux variables (température et longueur, ou température et torsion) ne suffisent pas pour définir l'état du fil. 11 faut, ou bien connaître son pass.é, ou bien se donner la valeur actuelle d'une variable extrinsèque, poids tenseur ou force de torsion. Les systèmes à irréversibilité essentielle seront exclus de notre Dynamique.

Nous n'étudierons que les systèmes à irréversibilité extrin^ sèque, c'est-à-dire ceux dont l'irréversibilité, seulement due à la nature des corps avec lesquels ils sont en rapport, ne réside que dans les vitesses de déplacement de leurs parties; et nous supposerons même que leur irréversibilité soit remédiable, dans la mesure où nous l'expliquerons ci-après (§ II).

Position du problème. — Dans notre Statique, éminemment générale, nous avons supposé que l'état d'un corps n'est bien défini que quand ce corps est en équilibre ; car il faut qu'un état

reste fixe pour qu'on puisse le relever. Nous avons également supposé, pour énoncer les trois principes de la Thermodynamique, que l'état initial et l' état final étaient des états d'équilibre.

Il s'agit maintenant d'étudier, dans leurs états de transformation, les systèmes à irréversibilité remédiable. Dans un très grand nombre de cas, l'état d'un tel système peut être, à chaque instant, complètement défini parles valeurs de certaines variables a, ^, . . . , )v, T, intrinsèques ou non, mais directement mesurables, qui sont naturellement des fonctions du temps. Nous entendons par T la température intérieure du système (et non la température de la source avec laquelle il est en contact), température qui sera supposée la même en tous les points du système à chaque instant de la transformation : c'est ce qui a lieu effectivement quand le système est assez petit, formé de substances conductrices, et qu'il n'éprouve que des modifications assez lentes. Nous supposons en outre qu'on puisse, au cours des. transformations, figer, pour ainsi dire, le système à chaque instant, c'est-à-dire anéantir brusquement les vitesses de transformation (nous entendons par là les dérivées a', p', . . . , V, ï' des variables par rapport au temps) sans altérer les valeurs mêmes des variables.

Cela dit, le problème général de la Dynamique se pose de la façon suivante. On considère un corps réalisant les conditions précédemment énoncées, et l'on se donne l'ensemble des corps étrangers avec lesquels il est en rapport et qui forment avec lui un système isolé du reste de l'univers.

Connaissant, à un instant donné, les valeurs des paramètres a, p, . . ., X, T qui définissent Vétat du corps et les vitesses de transformation, déterminer les états du corps, c'est-à-dire les valeurs rfc a, p, ...,)., T, d toute autre époque, postérieure ou antérieure.

Ce grand problème est trop général pour qu'on puisse l'aborder autrement qu'en invoquant dans chaque cas des vérités empiriques particulières, puisque nous ne connaissons point d'autres lois ayant la généralité des principes de la Thermodynamique.

Le principe d' inhérédité, — L'énoncé même de la question implique essentiellement ce principe métaphysique, que l'avenir

du sjslème considéré dépend exclusivement de son état actuel et de ses vitesses actuelles, ou, ce qui revient au même, de son état présent et de son passé immédiaty puisque ses vitesses actuelles sont déterminées par son état à Pinstant qui a précédé d'infiniment peu rinstant présent. En impliquant ainsi que tout Tavenir du système ne dépend que de deux états successifs infiniment voisins, nous limitons notre étude aux systèmes qui n^ont pas d^ hérédité; et nous excluons (comme nous l'avons dit précédemment, en supposant remédiable l'irréversibilité des transformations) les corps susceptibles de modifications permanentes, puisque l'état présent de pareils corps dépend de tout leur passé, au moins pendant un certain intervalle de temps y?/if, et non pas seulement de leur passé immédiat.

La traduction mathématique du principe d'inhérédité peut être formulée ainsi : les accélérations des différents points du système sont déterminées à chaque instant par Vétat actuel et les vitesses du système. En d'autres termes, les dérivées secondes des variables intrinsèques a, p, ...,)», T, par rapport au temps, sont des fonctions déterminées de ces variables elles-mêmes et de leurs dérivées premières a', p', • • • ? ^S T'.

Tout notre effort devra précisément porter sur la recherche des principes propres à fournir les expressions de ces dérivées secondes, le problème n'étant plus, à partir de là, qu'un problème d'Analyse mathématique.

Nous commencerons par généraliser, au prix de suppositions convenables, le principe de l'équivalence, pour le rendre applicable à la Dynamique.