II. — Le principe de l'équivalence étendu à la Dynamique

Équation du principe de l^ équivalence. — Considérons un système qui, à l'instant t^^ soit en voie de transformation. Nous pouvons supposer qu'au même instant il soit en équilibre, c'est-àdire que nous arrêtions subitement sa transformation (grâce aux moyens dont nous disposons, par hypothèse), et que nous le remettions aussitôt en transformation : les modifications autres que des déplacements ne demanderont ni travail, ni chaleur, étant

déterminées par des actions de présence; il ne faudra de travail que pour communiquer au système la force vive Ko qu'il a eflTectivement à Tinstant Co» Or, l'expérience montre que le travail nécessaire pour communiquer la force vive Kq à un corps partant du repos est précisément égal à Ko. C'est donc là ce que coûte, en travail, la mise en branle du système à l'instant Iq. Son état est alors défini par les valeurs a©, ^o? • • •? ^o> Tq des paramètres.

Laissons maintenant le système se transformer jusqu'à l'instant t, où son état sera défini par les valeurs a, p, ..., X, T et sa force vive sera K. Pendant cette transformation, il aura été dégagé une quantité de chaleur Q et les corps qui agissent sur le système auront effectué un travail G. arrêtons brusquement le système en cet instant t. Aucune chaleur n'est mise en jeu ; mais, en s'anéantissant, contre des ressorts, par exemple, sa force vive K produit un travail — K. Maintenant le système est arrivé au repos, après des transformations irréversibles.

Ici s'introduit l'hypothèse de réversibilité partielle que nous avons annoncée plus haut : nous supposerons qu'il soit possible de ramener réversiblement le système de cet état d^ équilibre (a, p, . . .,X, T) à l'état d^équilibre (ao, ^oj • • •> ^o> l'o) par une modification à température seule variable, suivie d'une modification isothermique.

La première de ces opérations fait passer sa température de la valeur actuelle T à la valeur primitive Tq. Elle met en jeu (p. 1 1 1) des quantités de travail et de chaleur qui ont respectivement pour expressions

f ôûTr, cdT,

Dans la seconde opération, le système reste à la température Tq; les paramètres a, p, . . ., ). sont ramenés à leurs valeurs initiales ^0) ^0) • • • } ^0 ) 1^ travail correspondant est

F(ao, ?o, . . ., Xo, To) - F(a, ?,..., X, To) = F,(Tu) - F(To^ ;

la quantité de chaleur mise en jeu est égale à — L(Tq), L(T) étant la chaleur dégagée par la transformation réversible qui, à la température T, fait passer le système de l'état (ao, po, . . ., Xq) à l'étal

236 THERMODYNAMIQUE GÉxNÊRALE.

Nous sommes partis d'un état supposé d'équilibre, pour revenir à ce même état d'équilibre : nous pouvons donc appliquer le principe de l'équivalence, qui nous donne

(I) Ko-K-f-^— r OrfT-r-Fo(To)-F(To) = J [Q-y* cûTT -L(To)l.

Cette équation, dont la généralité est immense, est valable pour toute modification irréversible d'un système sur lequel on peut opérer comme nous l'avons supposé.

Nous aurons à la rapprocher des formules

(.) L(T)^ATp-i:^>-(e-0„)],

(3) e-Co=TA(^llj,

qui ont été établies antérieurement (Chap. VII, §§ IV et V).

Introduction des variables intrinsèques normales. — On doit à Helmhoitz cette remarque profonde que, parmi les variables intrinsèques qui caractérisent un système, on en peut choisir de telles que les coordonnées des diverses particules qui le composent soient des fonctions de ces paramètres a, p, . . ., )., à rexdus ion de la température. Ces variables ont reçu le nom de variables intrinsèques normales. Leur propriété est une sorte de postulat expérimentai, qui résulte de l'examen de tous les cas connus (*).

Pour un gaz, par exemple, le volume est une variable normale; car, si la température varie sans que le volume change, les molécules du gaz restent aux mômes points.

Au contraire, pour les gaz, la pression n*est pas une variable normale; car, si la température change, la pression restant con-

(') Au Chapitre \I, nous avons donné des variables normales une définition en quelque sorte statique, appropriée à Fétude des modifications réversibles, dans lcsqu(>llcs il ne saurait y avoir de mouvement. Cette définition comporte seulement révanouisscment de 0, qui résulte, comme conséquence évidente, de la définition dynamique adoptée ici. Elle impose donc moins de conditions aux variables normales; c'est pourquoi nous avons pu, au Chapitre XI, démontrer Texistence des systèmes de variables normales, tandis qu'ici nous sommes obligés de la postuler.

stante, il j a dilalation ou contraction, et les molécules se déplacent.

Quand on a fait choix de variables normaleSy l'expression du travail extérieur mis en jeu dans les transformations du système, dans le cas où il existe un potentiel, ne dépend que des valeurs initiales et finales des variables normales, nullement de leurs dérivées par rapport au temps, ni de la température elle-même. En conséquence, elle est de la forme

G-W(ao, ?o, . .. Xo)-VV(a, p, . . . , X).

Enfin, dans les mêmes conditions, la fonction que nous avons appelée Q est identiquement nulle. En considérant comme générales ces propriétés importantes des variables normales, nous ne faisons qu'étendre aux cas nouveaux ce qui a lieu dans tous les cas déjà étudiés.

Supposant désormais que les variables a, ^, ..., X, choisies pour définir Tétat du système, sont des variables normales, nous simplifierons l'équation fondamentale (i), qui se réduira à

(4) Ko-K-hWo-W-T-Fo(To)-F(To) = J |'Q-L(To)-y cdî\.