III. — Les équations différentielles de la Dynamique

Différentiation de r équation du principe de r équivalence. — Nous avons, suivant notre règle invariable, établi une équation, l'équation fondamentale (4)^ où ne Ggurent que des grandeurs finies : les relations de cette sorte sont, en effet, les seules que l'expérience puisse donner; en les différentiant, ainsi que nous allons faire pour l'équation (4), on ne fait que les appliquer à deux états infiniment voisins {voir Ghap. IV, § III).

Supposons donc que, dans l'équation (4)) l'instant t soit infiniment voisin de l'instant t^, et soit f = f^, 4- dt. Nous aurons

•'•-'' = -§'''• w,-w = -^rf^

F,(T,) - F(T,) = - ^^^ dt,

les dérivées qui figurent dans les seconds membres se rapportant à l'époque ^oî P^^ suite, le premier membre de l'équation (/J) deviendra

En efi'et, le symbole 8 désignant (Chap. V, § X) la différentielle d'une fonction de a, ^, •••> ^? T, prise dans l'hypothèse où T reste fixe, on a

-j- = a — — t-...-t-A "vT^ y a -— dt doL dA J^ doL

d'autre part, la température ayant la valeur fixe Tq dans la fonction F, et le potentiel externe W ne dépendant pas de T (à cause des variables normales), on a visiblement

^W 8W dF(To) ^ 5F(To)

dt '^ dt ^ dt ^ ' dt ~ '

et, en particulier, pour l'instant t^^

[dt ),,--\dt),j i dt J^/L dt \,rl àt i;

Au second membre de l'équation (4) figurent une quantité de chaleur Q qui est infiniment petite et une intégrale qui se réduit à son élément différentiel; ces deux termes ont, en conséquence, pour valeurs respectives

Enfin, pourvoir par quoi il faut présentement remplacer le dernier terme L(T(,), rappelons-nous que, quand L(To) se rapporte à une modification isothermique finie à température Tq, de Fétat («0, ?o> • • -5 ^o) à l'état (a, p, . . ., X), on a, d'après la formule (a), simplifiée par l'emploi des variables normales.

Ici L(To) se rapporte à une modification infiniment petite, de l'état (ao, Poj • • • j ^o) à l'étal (ao -f- rfa, . . . , Xq + ^)- 0° doit

donc remplacer ce symbole par

.rr n>Ff 2.-^^2 To) àF(ii Ton

^^' [ -^f, ÔT, J •

Ainsi L(To) n'est autre chose que

Sous le bénéfice de ces observations, Téquation différentielle (4)'

devient

r^K cW 5F1 \dO .^ S àF-]

' IdF'^'dt'^ i7j,.""''L'5ï""" "^^ di 5tJ//

Comme il ne reste plus trace de Tinstant initial dans les groupes de termes placés entre crochets, les deux membres seront égaux quel que soit ^o» ce qui permet d'écrire

(5> -df-w-di^^^y-dr-'^-^^diTt)'

les paramètres ayant maintenant les valeurs a, ^, . . ., \, T, qui correspondent à un instant quelconque t.

Pour développer cette équation, il faut naturellement supposer qu'on sache former l'expression mathématique du potentiel interne F qui, étant relatif à une opération réversible (infiniment lente, par essence), est indépendant des vitesses de transformation a', |3', . . ., V, mais non de T; il csl également supposé qu'on sache aussi former celle du potentiel externe W, qui est fonction des seuls paramètres a, ^, . . ., )v, mais qui dépend à la fois du système considéré et des corps étrangers.

Léquation différentielle de la température, — Nous allons transformer le premier membre de l'équation (5) comme on le fait, depuis Lagrange, quand on se propose d'écrire les équations canoniques du mouvement. Les variables a^ ^, ..., T que nous employons, étant supposées normales, les coordonnées de tous les points x^ y, z du système s'expriment par des fonctions de a, P, . . ., X, indépendantes de T. Par suite, la force vive

24o THERMODYNAMIQUE GÉNÉRALE.

est une forme quadratique par rapport aux dérivées a', P', ..., X', et les coefficients des différents termes de cette forme ne dépendent que de a, p, . . ., X; ils sont indépendants de T. D'après cela, on a