OL OL

Rapprochant ces divers résultats, on trouve d'abord

dt " 2d^ \doL dt àx' dx da /

dK SW oF

dt dt

et l'on transforme l'équation (5) en

Avant de rechercher le rôle de cette équation, remarquons qu'elle est ignorée de la Dynamique classique, simple système logique, peu soucieux de la réalité, où il n'est pas tenu compte de la chaleur, bien que tout frottement en produise : aussi les travaux les plus récents ont-ils révélé dans la théorie du frottement des contradictions intrinsèques, irréductibles tant qu'on s'obstine à négliger les phénomènes calorifiques.

CilAP. XIII. — LE PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA DYNAMIQUE. 2^1

Ajoutons que, dans la D^^namique classique des systèmes sans frottement, les coefficients qui multiplient a', P', ... dans l'ëquation (6) se réduisent à zéro en vertu des équations canoniques; d'autre part, les effets de la chaleur étant négligés et la variable T ne s'introduisant pas, le second membre s'évanouit, de sorte que notre équation se réduit à une identité.

En fait, elle détermine la température T en fonction du temps, quand les autres variables a, ..., X ont été exprimées au moyen de ï et de t\ car son premier membre, bien que T n'y figure pas explicitement, devient alors une fonction connue de T et de t. D'autre part, nous allons montrer que le second membre est une fonction déterminée de /, de la température T et de sa dérivée T'. En effet, l'expérience apprend que la chaleur rfQ, déversée dans les sources pendant le temps e/^, est pour chaque portion rfS de surface du corps, à la température T, en contact avec une source à la température t, proportionnelle à dt^ à rfS et à la différence ï — T. On a donc

71 désignant le pouvoir émissif de l'élément de surface rfS, et l'intégration s'étendant à toutes les surfaces de contact du système avec les diverses sources. La fonction r^ dépend de la nature du corps étudié; la température t de la source considérée peut être constante, mais elle peut aussi dépendre des paramètres a, ^, . . . , a, le corps pouvant, par l'effet de son mouvement, être amené en contact avec diverses sources à des températures différentes. Quoi qu'il en soit, une fois l'intégration faite, le premier membre de la relation (7; sera exprimé par une fonction connue de a, p, . . ., X et de T.

Occupons-nous enfin du terme cT'. La formule (3), qui contient c, se réduit, quand on emploie des variables normales, à

c - co - AT ^ [F(a, ?,..., X, T) - F(ao, Po, • • • » ^o, T)] ;

mais elle ne fait pas connaître complètement c; car elle donne

sin^lement

"^ àT^ ^-?(T),

la fonction 'f (T) restant inconnue. Ainsi, la chaleur c n'est pas entièrement déterminée par la connaissance du potentiel interne; il faut la déterminer par une série d'expériences exécutées à des températures variables en maintenant les autres variables à des

valeurs fixes a©, Po? • • •> ^o*

Cela fait, la fonction 'f(T) sera déterminée; tout sera connu dans l'équation (6), sauf la température T elle-même et sa dérivée T'. On n'aura donc plus, pour connaître T, qu'à intégrer une équation différentielle du premier ordre. La constante introduite par l'intégration correspond a la valeur de T qu'on devra se donner, pour l'instant initial.

Équations analogues aux équations du mouvement. — On obtiendrait les équations de la Dynamique classique, les variables a, p, . . ., X étant supposées réduites au nombre minimum, en égalant à zéro les coefficients des dérivées a', P', ...,X' dans notre équation (6), ce qui donnerait

dK d dK d\\ d¥ doL dt doL' ~àôi' dâ " ^'

et les équations analogues.

Dans notre D^'namique générale, les premiers membres de ces équations ne doivent pas être égalés à zéro. Les dérivées secondes de a, 8, . . ., )v, qui figurent dans les groupes de termes tels que

■^ T-,y ont, en vertu du principe d'inhérédité, à chaque instant /,

des valeurs déterminées par l'état actuel du système, ses vitesses actuelles, et ce que nous appelons \es Jorces extérieures actuelles (savoir les dérivées partielles de W changées de signe). Or, à raison de l'emploi des variables normales, les autres groupes, formés par les dérivées partielles de K, de W et de F, ne contiennent que les paramètres a, p, . . . , X, T et les dérivées a', P', . . . , X', mais non T'. En conséquence, on aura, pour déterminer les fonctions a, p,..., X, des équations différentielles du second ordre en pareil nombre, savoir

ôK

K d dK dW àF / dW dW\

Telle est la forme analytique des équations cherchées (*). On voit que ce sont des équations différentielles du second ordre : c'est une conséquence du principe d'inhérédité. Pour les corps déformables, on aurait sans doute des systèmes différentiels d'ordre plus élevé.

Il nous reste à déterminer les fonctions G qui figurent dans leurs seconds membres. Nous n'y arriverons que par l'étude empirique des transformations qu'éprouve le système considéré, quand il est en relation avec un système de corps étrangers que nous appellerons simple, entendant par là que ces corps étrangers exercent sur notre système des forces constantes pendant toute la transformation. C'est d'ailleurs ce qui a presque toujours lieu.

Cas des forces constantes. — Les travaux externes admettant un potentiel W, \es forces sont connues : ce sont, par définition, les dérivées partielles de W, changées de signe. Les forces étant ici supposées constantes, nous poserons

les seconds membres étant des constantes. En vertu de cette hypothèse, les équations (8) deviennent

— — ^ T—, ■+• Wfli — — = GatC», . . . , A, T ; a , . . . , A ; W^, . . . , Wx)»

bY ~ â JT "*" ^'^- ^^ = ^^^' ^' '^' "' '''' '^^=" • ••''^^^-

( *) On ne voit pas comment on peut se dispenser de prime abord de faire intervenir, dans les expressions des dérivées secondes, la dérivée T' concurremment avec a', p', . . ., X', à moins de modifier dans ce sens le principe d'inhérédité; car l'emploi des variables normales n'autorise pas cette exclusion.

Mais on peut arriver à la forme analytique indiquée dans le texte pour les fonctions G, en supposant primitivement qu'elles dépendent de T' et faisant usage de Téquation (6), qui peut s'écrire

2]««'G.= jyr,(T-t)rfS-Jcr-TV.'^,

et où T' figure alors dans tes deux membres. Celte équation détermine T' en fonction de a, 3, ..., X, T; «', p', ..., X'. Il n*y a plus qu'à concevoir la substitution de T' comme faite dans les seconds membres des équations (8) pour être en droit de les supposer indépendants de T'.

De la sorte, rien n*est changé, ni \ ce qui précède, ni à ce qui va suivre.

Pour déterminer les seconds membres, on mettra le corps successivement en relation avec une infinité de systèmes simples exerçant sur lui des forces constantes pour chacun, mais différentes de Tun à l'autre, tandis que la température ï sera maintenue constante pendant chaque transformation. Dans chaque expérience, on observera les valeurs de a, jî, . .., X, T en fonction du temps, ce qui sera possible, les variables employées étant, par hypothèse, des grandeurs directement mesurables. Cela fait, on essaiera diverses formes analytiques pour les fonctions G, en intégrant le système (9) et l'équation (6), ce qui fournira les expressions de a, p, . . ., )v, T en fonction du temps; on comparera les nombres ainsi obtenus aux nombres observés, et Ton modifiera les formes analytiques attribuées aux fonctions G, jusqu'à ce qu'il y ait accord entre les a, p, ..,)<, T calculés et leurs valeurs observées.

Cas général; postulat des forces variables, — Une fois la forme analytique des fonctions G déterminée dans le cas des forces constantes, pour passer au cas général, nous nous appuierons sur un postulat explicite, le postulat des forces variables, sans lequel la Dynamique ne peut être constituée, et que voici :

Quand les corps étrangers, avec lesquels un système est en relation, exercent sur lui des forces variables, les fonctions G du système (8) dépendent des paramètres ol, p, . .., À, T, des dérivées a', P', . . . , X' et des forces variables extérieures

àW d\\

exactement de la même manière qu'elles dépendent de ol^ ^^...^ X, T, a', P', . . ., V et des forces W», . . ., Wx, quand ces Jorces sont constantes.

En d'autres termes, les équations (8) étant celles qui conviennent au cas des forces constantes, il suffit, pour avoir les équations relatives au cas des forces variables, d'y remplacer les constantes Wa, .... Wx respectivement par les forces variables

sans changer la forme analytique des fonctions G.

Ce postulat achève la partie théorique de la Dynamique générale, puisqu'il ramène tous ses problèmes à des questions de pure Analyse mathématique.

Il n'a rien d'ailleurs d'essentiellement nouveau. En l'énonçant, nous ne faisons, au fond, qu'admettre ce qu'admet la Dynamique classique. En effet, son équation fondamentale

dt

où X est la composante, parallèle à l'axe des x^ de la force qui sollicite le point /w, n'est directement vérifiée que pour la pesanteur, c'est-à-dire dans un cas de force constante. Quant aux prétendues démonstrations qu'en donnent les ouvrages classiques dans le cas (ï xxne force variable, elles ne supportent pas l'examen. La généralité de cette équation est donc un postulat tacite. Mieux vaut un postulat exprimé.

Interprétation des équations du second ordre. — A l'inverse du procédé habituel de la Science, qui consiste à traduire des mots par des équations, nous allons traduire par des mots les équations (8) qui, comme toutes nos équations, ne font que traduire des images. Rappelons, à cet effet, que nous avons appelé forces extérieures les dérivées partielles du potentiel externe, changées de signes,

Les dérivées partielles du potentiel interne par rapport à a, ^, . . ., A, changées de signes,

seront appelées forces intérieures.

Quant aux expressions différentielles

doL dt doi'' '"' à\ dt àV'

nous leur donnerons le nom de forces d^ inertie.

Enfin, les seconds membres Ga* . . ., Gx seront dits forces ou résistances passives.

246 TBERMODTNAMIQUE GÉNÉRALE.

Moyennant ces dénominations, les équations (8) pourront être traduites par cet énoncé : Les forces extérieures, les forces intérieures et les forces d^ inertie font à chaque instant équilibre aux résistances passives.

TV. — Des résistances passives et de l'influence du frottement

sur Téquilibre.

Frottement et viscosité. — Nous distinguerons des résistances passives de deux sortes, des résistances de frottement et des résistances de viscosité, et nous donnerons à ces termes un sens beaucoup plus général que celui qu'on leur attribue d'ordinaire.

Nous dirons qu'il y di frottement lorsque, les vitesses de transformation a', P', ...,)/ tendant toutes simultanément vers zéro suivant des lois mathématiques quelconques, les fonctions G restent en général finies. Nous dirons que le système est visqueux si, dans les mêmes conditions, les fonctions G tendent vers zéro.

D'après cela, des corps qui frottent développent des résistances passives, si petite que soit leur vitesse relative : c'est le cas de deux solides qui se meuvent en se touchant. Au contraire, l'effet de la viscosité s'annule avec la vitesse, comme pour la goutte liquide roulant sur un solide.

Mais on tomberait dans une erreur grave, erreur qui serait de nature à fausser dans son entier l'étude thermodynamique du frottement et des faux équilibres chimiques, si Ton admettait que les valeurs limites des fonctions G, dans l'état a, ^, . . ., X, dépendent seulement des valeurs actuelles de ces paramètres. En réalité, les valeurs limites G^, ..., GJ de ces fonctions dépendent aussi des lois suivant lesquelles les dérivées a', P', ..., \' tendent vers zéro.

Ces notions vont nous permettre de nous rapprocher de la réalité dans l'étude de l'équilibre, en invoquant une fois encore les principes de Garnot.

États d'équilibre des systèmes à frottement. — Quand on suppose qu'il n'y a pas de frottement, comme nous l'avons fait en

Statique, un système n'admet qu'un nombre fini d'états d'équilibre. Au contraire, pour les systèmes à frottement, les états d'équilibre sont en nombre infini et forment un continuum. Avant d'établir ce fait en toute généralité, nous en citerons deux exemples :

I" Une petite sphère étant placée dans une sébile de bois rugueux, ses points de contact avec le vase, dans toutes les positions où elle est en équilibre, forment toute une calotte continue autour du point le plus bas de la sébile.

2" A des températures comprises entre 3io" et 820", le mélange tonnant se transforme partiellement en eau 5 Ja combinaison s'arrête quand la proportion d'eau formée atteint o,o38. Nous énoncerons ce fait en disant que le système

aH»-haO-f-(i — a)H«0

restera en équilibre entre 3 10° et 320°, si l'on a

et qu'il ne sera plus en équilibre si Tmégalité change de sens. En conséquence, ses états d'équilibre forment un continuum défini par les inégalités

l--">o,o38, 3,o<T + .73<3ao.

et

Ce système est donc pour nous un système à frottement.

Nous allons maintenant, en combinant l'équation du principe de l'équivalence avec l'inégalité de Clausius, démontrer la propriété des systèmes à frottement.

Soient donc (a, P, . . ., )v, T) et (a -j- rfa, / -h rfX, T -i- cTÏ )

deux états d'un tel système aux époques t ei t -r- dt. Dans l'équation (5) introduisons le potentiel total

et multiplions les deux membres par dt'^ il viendra

- rfK — 8* = J (c/Q — c ^ — aL).

Or, si l'on multiplie respectivement par a'e//, ^'rf^, ... les deux

membres des relations (8) et qu'on les ajoute, on trouve aussi

Du rapprochement de ces deux égalités résulte

(10) V Garfa = J(e/Q — cûTT— 8L).

Si Ton suppose que Télat au temps t soit un état de repos

OÙ le système ait même température Tque la source avec laquelle il est en contact, et qu'il parte de cet état avec de faibles vitesses de transformation, on pourra appliquer l'inégalité de Glausius au cycle irréversible fermé décrit par le système parti de l'état de repos (a, p, . . . , )v, T) pour y revenir. On aura donc

T| étant la température d'une des sources avec lesquelles le système est successivement en contact et Q/ la chaleur échangée entre lui et cette source. Or, si l'on se reporte à l'établissement (§ II) de Téquation (5) qui nous sert de point de départ, on verra, en ayant égard aux changements de notations (ici T et T -h ctT remplacent respectivement les Tq et T du paragraphe cité), que, des deux quantités de chaleur — c dTy — 8L, la première est échangée avec une source à la température ï H- rfï, la seconde avec une source à la tempéralureT; quanta laquantité rfQ, elle est échangée, par hypothèse, avec une source à température T; on pourra donc écrire

L(^dq-cdT-ZL)- o.

Par suite de l'égalité (lo), on aura également

Go^doL ^> o.

puisque à Tëpoque t les Ga ont les valeurs limites qui correspondent à a' = ^' = . . . :i^ )/ = o. Nous pourrons donc représenter par s la valeur du premier membre de celte inégalité, e étant une fraction positive, et poser

(il) \Gaû^a — e.

Cela étant, rappelons la signification de 8$, savoir

et considérons-y les e/a, non plus comme des différentielles de fonctions d'une même variable t, mais comme autant de variables distinctes, liées entre elles et aux paramètres a, p, .. ., X, T par Tunique relation (i i). Dans ces conditions, la valeur absolue de 0$ aura un maximum qui sera nécessairement de la forme

max. de I 8<ï> I — e <|;(a, p, . . . , X, T),

les valeurs des da. qui donnent lieu à ce maximum étant chacune de celte même forme. La fonction ij^ est par sa nature essentiellement positive.

Imposons arbitrairement aux paramètres a, ^, . . ,, X, T, qui caractérisent Tétat de repos du système au temps t^ la condition exprimée par l'inégalité

Il en résultera nécessairement que, si Ton rend aux doL leur signification physique, on aura

et, par suite,

0<ï> = JJtS,

[X étant une fraction comprise entre — i et -f-i. Dès lors, si

l'on tient compte de la relation (i i) et de cette dernière, Téqua-

tion (5)' deviendra

— dK = jjte -i- e = e(i -h fx),

ce qui implique contradiction : en effet, dK, accroissement d'une

a50 THERMODYNAMIQUE GÉNÉRALE.

force vive primitivement nulle à l'état de repos, ne peut être que positif; par suite, le premier membre est négatif, tandis que le second est essentiellement positif. Il est donc impossible que le sjstème sorte de son repos ; c'est-à-dire que tous les états compris dans le continuum (12) sont des états d'équilibre. A peine est-il besoin de faire remarquer que ce continuum contient tous les états d'équilibre qu'on obtient en négligeant le frottement, parce que les valeurs correspondantes des paramètres a, p, . . ., A, étant définies pour une température donnée T par les équations

satisfont visiblement à l'inégalité (12).

CBAP. XIV. — MOUTEMENTS STATIOI^NAIRES. 25 1