III. — Sur l'équation caractéristique de certains corps

Expression du traçait de désagrégation totale. — Soient deux molécules m et /n', situées primitivement à la distance r. L'état du corps venant à changer, elles s'éloignent à la distance p. Pour qu'elles n'agissent plus Tune sur l'autre, il faut qu'elles s'éloignent à la distance e de l'attraction sensible. Le travail accompli est alors

mm' I f(p)dp.

Or, toutes les molécules m' situées à la distance r de la molécule m remplissent une couche sphérique dont la masse est ^Tzl r'^dr^ de sorte que le travail de toutes les attractions exercées sur la molécule m est

4rmA f r^dr f fip)dp,

(') Ainsi se trouve justifiée une assertion formulée au paragraphe I. (^) Ce qui prouve que les gaz sont des corps pour lesquels i n'est pas fonction de la température seule et autorise à leur appliquer les considérations actuelles.

el, pour toutes les molécules /w, au nombre de /*,

4rnmA / r^dr j /{p)dp.

Mais nm = v^, puisque ce sont là deux expressions de la masse du corps. Donc l'expression précédente peut s'écrire

4iri>A« r r^dr f /(p)dp.

Seulement, comme on a compté deux fois Taction réciproque de deux molécules, ce résultat doit être divisé par 2 et Ton a

G = 27tt'A* / r^ dr I /{p)dpy

pour expression du travail de désagrégation totale. Pour simplifier

ce résultat, posons

Il viendra, par suite, en intégrant

y/(p)rfp=--F(0-F(r).

De là résulte

|%M.p(p)^p=F(e)jr'^(Ç)-^>(.)rf(Ï)-

Si l'on intègre par parties, deux termes du second membre se détruisent, et il reste

J r^drf/(p)dp= 1 r r^¥\r)dr= ij r'^f(r)dr.

Il suffit de multiplier par itzv^^ et l'on trouve fiaalemenl

f r^/{r)dr.

Expression du viriel intérieur. — Calculons maintenant, pour le comparer à G, le viriel intérieur

26o THERMODYNAMIQUE GÉNÉRALE.

Pour un seul point matériel m, on a, d'après ce qui a été dît plus haut,

-ml iTzXr^ dr,r/(r) = 2T:m\ 1 r^f{r)dr^

et pour tout le corps, composé de n molécules,

2'ir/imA / r^f{r)dr = i'KvS!^ 1 r^f{r)dr.

Mais, comme l'action mutuelle de deux molécules a été comptée deux fois, on a simplement

V/ = iTi>A« f r^f{r)dr.

En conséquence, on a

c'est-à-dire que le travail de désagrégation totale est égal aux deux tiers du viriel intérieur.

Équation de Clausius, — D'après le théorème du viriel, dû à Clausius, la chaleur q réellement contenue dans un corps est la somme du viriel intérieur et du viriel extérieur \pv. On a donc

y = V/ -+- - pv,

ce que l'on peut écrire

Difierentiant, on tire de là

d^ -\-p dv — -^dq — V dp.

Or, si l'on admet que la chaleur q soit fonction de la température seule, elle est, comme on sait, proportionnelle à la température absolue

q = kT,

On a donc

d(^ -^ p dv = - k dT — V dp.

Ecrivons, conformément au principe de Carnot, que le second

membre de celte relation devient une difTërentielle exacte quand on le divise par T. Il faut et il suffit pour cela que

soit une différentielle exacte, c'est-à-dire que le coefficient de dp soit une fonction de p. On doit donc avoir

Telle est la forme de l'équalion thermique des corps pour lesquels la chaleur réellement contenue ne dépend que de la température.

rv. — Travail de changement d'état quand les constantes

de l'ergiel ne varient pas.

On suppose qu'il existe un ergiel U dépendant de certaines constantes qui conservent, dans le premier état, dans le mouvement troublé et dans le second état, les mêmes valeurs invariables; de sorte que ce sont les constantes d'intégration qui varient seules. L'ergiel peut d'ailleurs dépendre explicitement du temps t.

Nous allons démontrer que la somme

^ (8X/ dxi — ^Xi d\t)y

étendue aux n points du système, est nulle. On a, en effet,

j -In J:=-Zn

De là résulte

ce qu'on peut écrire

Ainsi, la somme considérée est nulle. Donc, si Ton appelle o Tépoque où commence à varier celle des constantes dUntégration qui commence la première avarier, et t Pinstant où finit de varier celle qui finit la dernière, le travail de transformation, pour passer du premier état au second, se réduit à

i = rt

^{Xi^xt-i-yi^j^i-^Zi^Zi),

où X| désigne la composante suivant Ox de la force qui s'exercerait au temps t sur leiipoint M|(a:i,yi, 5/) si le mouvement n'avait pas été modifié; oxi est l'excès de l'abscisse xi de la position que le point M| occupe réellement au temps t sur l'abscisse de la position qu'il occuperait au même instant dans le premier mouvement.

Le théorème n'est plus vrai, si l'ergiel dépend explicitement des dérivées x'^ , y^ , z'^ des coordonnées par rapport au temps.