I. — Première définition du travail

(système étranger sans frottement.)

Le premier système étranger, le plus simple, que nous considérerons est celui qui ne pourra éprouver à^autre modification qu'un changement de configuration de ses parties, dont la densité, la température, la composition chimique, etc., restent invariables. Elles n'exercent point d'action à distance les unes sur les autres, comme il a élé dit, de sorte que, si l'une d'elles est détachée du reste, elle tombera vers le sol. Il pourra y avoir parmi elles des aimants, à condition qu'ils soient fixes et que les parties mobiles de (S|) ne soient pas en fer. Ce seront des solides indéformables, des fils et des membranes inextensibles, des fluides incompressibles; ces hypothèses sont admissibles au moins dans une première approximation. Les parties mobiles devront être bien polies, si elles sont solides, pour qu'il n'y ait point de frottement, et les fluides ne devront se déplacer qu'avec de faibles vitesses, afin de n'éprouver aucune élévation sensible de température. Un pareil système sera dit système de poids.

Le système étranger (S| ) étant ainsi défini, considérons d'abord deux états d'équilibre de (S), auxquels correspondent nécessairement deux étals d'équilibre de (S| ) ; ces deux derniers états ne diffèrent que par le déplacement de certains des corps extérieurs. Rapportons ces déplacements à des axes de coordonnées dont l'un, l'axe des z^ sera vertical et dirigé vers le bas. Soient P le poids de l'un des corps déplacés, Zq et z les coordonnées de leur centre de gravité dans le premier état d'équilibre et dans le second.

Nous dirons que, dans le passage du premier état au second. il a été mis en jeu un travail

qui est la somme algébrique des produits des différents poids déplacés par leurs hauteurs de chute ou d'élévation.

Ce travail sera consommé par le système (S) s'il est positif; si 6 < o, ce sera du IrdiV^W produit par le système (S); on dit aussi que le système (S) a consommé du travail quand G est positif, qu'il en a produit dans le cas contraire.

Par exemple, soit dans le vide un fluide contenu dans un cylindre indéformable et surmonté d'un piston qui, avec sa surcharge, forme un poids P et peut glisser sans frottement sensible dans le corps de pompe. Si sa surface esta, on appelle /?re55/o/i du fluide par unité de surface ou simplement />re55/o/i le quotient

Si le piston se déplace verticalement de rfs, soit qu'il descende (rf.3>o), soit qu'il s'élève (rf^<^o), le travail 5 mis en jeu est toujours représenté, en grandeur et signe, parPrf-s, ce que l'on peut écrire

6 = — j ûfz = pa dz.

Or, si l'on appelle dv la variation de volume du fluide, variation qui est négative si le piston s'abaisse (rfz>o) et positive s'il monte {dz <! o), on aura, dans tous les cas,

(j dz = — dv.

D'où cette expression générale du travail élémentaire

(t = — p di\

Si donc la pression varie par degrés insensibles, comme cela aura souvent lieu par la suite, dans la compression ou décompression qui amène le fluide du volume initial Çq au volume final v^ le travail mis enjeu est représenté par l'intégrale

Cs

= — j pdv.

\\ est consommé par le système s'il y a contraction (i'<^o)î produit s'ily a dilatation {v > s^q). Si le fluide, au lieu d'être dans le vide, était dans une atmosphère, il n'y aurait qu'à ajouter au rapport P : o- la pression de cette atmosphère, pour obtenir la pression p qui intervient dans les évaluations précédentes : rien n'est changé d'ailleurs.

S'il s'agit d'un solide, soumis sur toute sa surface à une pression normale p par unité de surface, on pourra la remplacer sur chaque

élément superficiel rfo- par une petite plaque rigide qu'appuiera contre le corps un très petit poids agissant par l'intermédiaire d'un levier coudé et égal à p d<T^ si les deux bras du levier sont

Fig. I.

égaux. Quand, par l'efTet d'une très petite contraction du corps, la plaque se déplacera d'une longueur dn suivant la normale à l'élément rfo", l'extrémité du levier s'abaissera légèrement et le poids qui le surcharge effectuera un travail égal k p dv dn^ quel que soit le rapport des deux bras du levier. Or, en étendant la sommation à toute la surface du corps, on a

2/? rfj dn =z p'L da dn = — p dç^

— di^ désignant la diminution de volume du corps. On verrait de même qu'une augmentation de volume rfr produit une quantité de travail égale encore à — jj dw Nous arrivons donc, comme dans le cas des fluides, à la formule

Q: = — I pdif

pour le travail mis en jeu quand le solide passe du volume i'o 3" volume ç^ la pression/? pouvant varier avec ç suivant une loi qui devra être connue.

Nous n'avons défini que le travail mis en jeu entre deux états d'équilibre. Pour généraliser, représentons par Zq l'ordonnée du

centre de gravité du poids P, et par — - sa force vive à l'iostanl lo

soient 2 et les mêmes quantités à l'instant /. Nous définirons

le travail G consommé par le sj'slème (S) entre l'instant /g et l'instant / par la relation

Ici S est égal au travail précédemment considéré, moins la variation de force vive du système étranger pendant l'intervalle de temps compris entre /© et l. Si S est négatif, le système (S) aura produit du travail.