II. — Comparaison avec la D3rnamique classique

La définition que nous venons de donner du travail mis en jeu par un système est différente de la définition classique. Mais elle n*est pas contradictoire avec cette dernière, comme nous le vérifierons par un exemple.

Rappelons d'abord que l'on définit habituellement le travail d'une force (X, Y, Z) comme étant la somme de ses projections sur les éléments de la trajectoire de son point d'application, multipliées par ces éléments eux-mêmes. Le travail entre les temps t^ et ^ a donc pour expression

Mais, d'après les principes du système C. G. S., \a force qui agit sur un point matériel est constamment égale, par déjinition, à la masse M de ce point, multipliée par son accélération ; tandis que, dans l'ancienne Mécanique, cet énoncé était un théorème ou plutôt un postulat. Il suit de là que les composantes de la force ont pour expressions respectives

dt^ dt^ dt*

Si l'on porte ces valeurs dans l'intégrale qui exprime G, on trouvera

ce qui revient à dire que le travail de la force qui sollicite un point mîilériel, pendant un certain intervalle de temps, est égal à la variation de force vive du point pendant l'intervalle considéré. Ce résultat s'étend à un système quelconque.

Cela posé, considérons un corps de masse M, mobile sans frot-

tement sur un plan horizontal, et supposons, pour simplifier, qu'il décrive une ligne droite d'un mouvement varié, suivant une loi connue ^ = f (/).

Pour pouvoir définir le travail mis en jeu dans ce mouvement, il faut que nous puissions imiter ce mouvement en mettant le corps en relation avec ce que nous avons appelé un système de poids; c'est à quoi l'on arrive en attachant le corps à un fil passant sur une poulie et terminé par un poids convenable p = mg^ mobile sur un profil parfaitement poli, que nous réaliserons par tâtonnements et dont la définition mathématique sera donnée ci-après. (La poulie est supposée infiniment petite, sans frottement, le fil flexible et inextensible, de masse négligeable.) Dans le plan du profil, un axe Oz {Jig» 2) dirigé vers le bas passe par la poulie.

Fig. a.

Représentons à l'instant / par z et u la cote de la masse m et sa vitesse, par i> la vitesse de la masse M; soient Zo, </of ^'0 les mêmes quantités à l'époque ^o* Le travail mis en jeu entre les époques t^ et t est, diaprés notre définition,

p(z - zo) - m ^!Ç -- '-^y

d'après la définition classique,

Si l'on égale ces deux expressions, on trouve l'équation

CHAP. II. — TRAVAIL ET ÉQUIVALENCE. a3

qui exprime celte proposition, bien connue sous le nom de théo^ rème des forces vives : la somme des travaux des forces qui agissent sur un système est égale à la variation de force vive du système.

L'équation précédente est vérifiable par des expériences d'enregistrement. Elle va nous fournir l'équation différentielle du profil. Employons, en effet, des coordonnées polaires r et 9, indiquées sur la Jig. 2. Nous aurons, en appelant / la longueur du fil,

ar = <p(/), r= / — J7 = / — cp(0, i; = (/ — cp)sinO, v = cp'(/),

Par suite, si Ton fait ^o = -So = «^0 = ^0 = o> l'équation (1) devient /,[/- o(/)]sinO = ^ [?'« + (/- cp)«^]^ M Ç.

C'est là une équation différentielle du premier ordre. Par intégration, on en déduira

et la constante arbitraire C sera déterminée par la condition

Oo = F(o,G),

60 étant l'angle que fait le profil avec Ox k l'origine.

On connaît donc les expressions de r et de 6 en fonction d'un paramètre ty

ce qui détermine le profil. Sa forme dépend évidemment des deux arbitraires l et Qq-