III. — Observation générale sur la difFérentiation

On a dû remarquer que nous n'avons jamais écrit une relation différentielle, c'est-à-dire une relation entre quantités infiniment petites, pour en déduire par intégration une loi concernant des grandeurs finies. C'est pourtant là ce qu'on a toujours fait depuis Lcibnitz et Newton, avec raison dans l'Analyse mathématique, qui est une science de construction, mais à tort dans les Sciences de la nature. L'infiniment petit, en physique, est, par définition, ce qui échappe à Tobservalion, étant au-dessous des erreurs d'expérience. On ne peut donc atteindre l'infiniment petit que par des hypothèses gratuites, ce qui est antiscientifique, ou en admettant que les lois, observées sur les grandeurs finies et reconnues valables quand ces grandeurs atteignent les dernières limites de petitesse compatibles avec nos moyens de mesure, sont encore vérifiées par les éléments qui échappent à nos expériences. Ce postula tum

CHAP. IV. — PROCESSUS RÉVERSIBLES. POTENTIEL. bj

général, que Ton ne peut raisonnablement incriminer, est celui que nous avons adopté, et auquel nous nous conformerons toujours dans rétablissement des principes de la Science. Nous partons dVquations en termes finis, traduisant les observations, en un mot de lois intégrales, et, quand il j a lieu, nous les différentions, c'està-dire que nous supposons infiniment petites les différences qu'elles contiennent, sachant que les opérations qui diminuent ces différences peuvent être poursuivies très loin.

Cette observation, qu'il convenait d'énoncer au moment où nous venons (§ I) d'effectuer pour la première fois une différentiation, a une portée que chacun aperçoit. Mais nous n'avons pas seulement une raison logique de condamner la méthode qui consiste à déduire le fini de Tinfiniment petit, ce qui est proprement chercher le connu dans l'inconnu; pour nous refuser à une pareille démarche, nous nous appuj^ons, en outre, sur une vérité mathématique banale, mais encore trop peu répandue, paraît-il : c'est qu'il y a des infinités de lois différentielles, qui conduisent rigoureusement à la même loi intégrale, de sorte que l'exactitude de la loi intégrale ne constitue jamais une vérification de la loi élémentaire d'où elle a été déduite.