VIII. — Cas particulier de l'équilibre mécanique

Théorème de Dirichlet.

Nous allons appliquer la condition générale de l'équilibre isothermique stable à un sjstèmc mécanique sans frottement au repos, c'est-à-dire dont l'état au repos est défini uniquement parles positions de ses divers points. Nous supposerons que le système et

CHAP. y. — LES DEUX PRINCIPES DE CARNOT. 83

les corps extérieurs qui agissent sur lui sont tels [voir §§ IVel V) qu'il existe un potentiel interne et un potentiel externe, par suite un potentiel total.

Dans ces conditions, tout ce qui précède s'applique, et nous retrouvons, comme cas particulier du théorème précédent, le théorème de Dirichlet :

Pour qu*un système mécanique, admettant un potentiel, soit en équilibre stable, il faut et il suffit que son potentiel soit minimum.

Il importe de remarquer que, grâce aux principes de Carnot, nous avons pu établir complètement cette proposition capitale, sans faire intervenir les lois delà Dynamique. OrLejeune-Dirichlet a seulement démontré que le minimum du potentiel est une condition suffisante pour l'équilibre stable, mais non qu'il en est la condition nécessaire ; et sa démonstration s'appuie sur des résultats empruntés à la Dynamique, ce qui est un grave défaut : il n'est pas acceptable qu'on doive connaître les lois exactes du mouvement pour établir un théorème relatif à l'équilibre.

Mais il y a plus. Dirichlet se sert de la théorie des petits mouvements, qui implique que le système oscillera éternellement autour de sa position d'équilibre, sans jamais l'atteindre. Ceci est contraire à la réalité. Les systèmes, même dépourvus de frottement au repos, fînissent toujours, quand ils oscillent autour d'une position d'équilibre, par l'atteindre et s'y fixer^ leur mouvement s'éteint peu à peu en se transformant en chaleur par contact de leurs parties entre elles ou avec le milieu fluide ambiant. Ce phénomène devient appréciable peu à peu, à mesure que les oscillations deviennent plus nombreuses, et cela, quelque faible, quelque insignifiant qu'il soit dans le cours d'une seule et unique oscillation.

C'est un efl'et de la viscosité ou lenteur avec laquelle s'opère la transformation d'un système. (Il suffit souvent d'une action de présence pour faire varier la viscosité dans des proportions énormes.) Pour sauver la loi de l'inertie, la Dynamique est obligée d'assimiler la viscosité à une force dirigée en sens contraire de la vitesse des parties en contact, force qui devient nulle avec la vitesse. On introduit ainsi des forces nées du mouvement, ce qui

est contraire à la définition même de la force, car on appelle /orce toute cause de déplacement d*un corps en repos, quand ce mouvement n'altère pas les autres propriétés du corps.

IX. ~- Application à l'équilibre du parallélépipède élastique.

Nous allons rattacher à la condition générale déduite du second principe de Carnot la théorie de l'équilibre d^élasticité.

Soit un bloc d'une substance élastique homogène et isotrope (*). ayant la forme d'un parallélépipède rectangle, appuyé contre trois pians absolument fixes, l'un horizontal, les deux autres verticaux. Soient a, 6 les longueurs des deux arêtes horizontales, cla hauteur du prisme. Sur chacune de ses trois faces libres est appliquée une lame rigide; celle qui touche la face horizontale est surmontée d'un poids P,. Nous appellerons pression sur cette face le quotient changé de signe de Pz par l'aire ab de la face

ab

Pour les faces verticales, on emploie un levier coudé à angle droit, à bras égaux, dont le bras horizontal porte à son extrémité un poids Vx pour la face 6c, P^ pour la face ca. L'extrémité du bras vertical appuie par l'intermédiaire d'une pièce rigide sur la lame qui recouvre la face. Nous appellerons pressions sur les faces verticales les quotients

ùc ca

Nous ne ferons pour le moment aucune hypothèse sur ces pressions, qui pourront, suivant les cas, être variables ou constantes. Nous supposerons seulement que le solide, soumis à leur action, conservera la forme d'un parallélépipède rectangle, dont les dimensions seront devenues respectivement

az= a{i -h u)y p = 6(i-+-i'), Y = -^C' -+" "0-

(') Un corps est homogène, si rien ne dislingue deux sphères égales découpées n'importe où dans sa masse; il est isotrope, si rien ne distingue deux cylindres égaux taillés dans sa masse suivant n'importe quelle direction.

Au lieu d'emprunter à l'expérience les lois de l'élaslicité, nous les déduirons de conjectures vraisemblables. Ainsi, nous admettrons que, dans la transformation isothermique qui amène lé solide de l'état (a, 6, c) à l'état (a, p, y), qu'elle s'accomplisse spontanément sous l'action de poids fixes ou qu'elle soit rendue réversible, le travail est égal au produit du volume primitif V = abc par le travail de la transformation correspondante qui ferait passer un cube, égal à l'unité de volume, des dimensions i, i, i aux dimensions 1 4- tt, I -f- ç', I -i- (V.

Nous allons donc étudier ce cube. Donnant les trois pressions constantes X, Y, Z exercées sur ses trois faces, nous cherchons les longueurs respectives i -\- u^ i -H ^, i -h w de ses arêtes O j;, Oy^ Oz quand sera établi l'équilibre isolhermique stable.

A cet effet, commençons par exercer, grâce aux moyens indiqués plus haut, et tour à tour sur chacune des trois faces libres du solide, les deux autres étant maintenues fixes, des pressions progressivement croissantes, avec une extrême lenteur et de telle manière qu'il y ait constamment équilibre entre la pression exercée et la réaction élastique du corps, jusqu'à ce que les arêtes aient successivement été réduites aux longueurs i -j- w, i -f- t^, I 4- w. Dans ces conditions, la modification sera réversible, et comme le travail total dépensé sera indépendant, à cause de l'isotropie, de Tordre dans lequel les faces auront été comprimées, il sera représente par la variation

d'un potentiel interne. Nous allons chercher à déterminer ce potentiel dans la mesure où il nous est nécessaire de le connaître pour résoudre le problème posé. Comme les variations m, c, w sont très petites, nous pourrons employer le développement en série de Taylor et poser

F(m,p, tv)— F(o,o, o) = G« -+- G't'-+-G'tr-f- Am«-4-A'i^»-4-A%v«

-r 2 B V%V -4- 2 B' WU H- 2 B' Mi> H- . . . ,

les coefficients étant indéterminés, et les termes non écrits, négligeables à raison de leur petitesse.

Je vais d'abord démontrer que l'on a nécessairement

86 THERXODYNAMIQUfi GÉNÉRALE.

sans considérer de déplacements virtuels, les déplacements virtuels étant par définition irréels et souvent même impossibles, comme contradictoires avec les faits.

Pour une compression w dirigée suivant Tune des arêtes, on a u = V = o. C'est là une opération possible, car il suffit d'empêcher tout déplacement des deux faces sur lesquelles on n'agit pas, ce 'qui exige seulement l'interposition d'un corps rigide entre la lame qui les recouvre et un obstacle fixe. Dans ces conditions, le travail consommé sera

et iv étant suffisamment petit, ce travail aura le signe de Ccp, si G" n'est pas nul. Une fois le corps en équilibre, faisons cesser la pression qu'il éprouve, ce qui n'exige aucun travail. Il revient alors à son état initial, sans consommer ni produire de travail, puisqu'il n'est plus en relation avec aucun corps extérieur mobile. Dans le cycle, irréversible à cause du retour spontané, qu'il a ainsi décrit, le travail total est nécessairement positif. Donc Civ> o. Mais si, au lieu de raccourcir l'arête de w par compression, on l'allongeait de- la même longueur par élircment, puis qu'on laissât encore le solide revenir sans travail à son état initial, on trouverait — C(v > o. Par suite^ C ne peut être que nul; et de môme aussi G et G'. Il reste donc

F(m, V, w) — F(o, o, o) — Aa*-h AV*-i- A"»'*

-T- 9. B ^'^v -h -2 B' wu -h 2 B' w r -?- . . . .

Exerçons maintenant deux déformations égales (ç = u) suivant deux arêtes. Les deux travaux correspondants Aw* et A'//seront égaux, en vertu de l'isotropie. Donc A' et A sont égaux.

On trouve de même

Enfin, comprimons simultanément le cube dans le sens des deux

arêtes O^, Oyy mais non suivant la troisième (w = o). Le travail

correspondant sera

A a' -+- A p* -h '2 B' Mi^.

Si l'on comprimait simultanément dans le sens des deux arêtes Oj?, Ow, mais non suivant Oy, le travail serait

A a* -i- A iv> -+- 2 B' ivu.

Prenant pour u la même longueur que précédemment et pourtv

la valeur antérieure de r, on devra, à raison de Tisotropie, trouver

le même travail. Donc B" esl égal à B'. Pour la même raison on

aura

Ainsi, le travail réversible a pour expression générale

A ( M* -H V* -H M'* ) -4- 2 B ( l'Cl' -h WU -\- UV)

= (A.— B)(ï/i-^ t'ï-T- (v»}-haB(M -4-P-4- Jï')*, ou, avec les notations consacrées,

Pour simpliPier l'écriture, négligeons la constante F(o, o, o), qui n'interviendra pas dans les calculs ultérieurs. Mous aurons, comme expression finale du potentiel interne,

F(i/, V, IV) - ;x( «* -î- r2 — «•* ) i ( j/-i- i» h- ivY.

Occupons-nous maintenant de la modification naturelle que le cube éprouve quand il est soumis directement aux pressions X, Y, Z agissant suivant les axes Ox, Oy, O^. Exerçons sur la face horizontale libre la pression Z, tandis que les deux faces verticales seront empêchées de se déplacer, et admettons que, quand ré(|uiiibre s'établit, les arêtes verticales aient précisément la longueur i-+-iv à laquelle elles s'arrêtent quand on exerce à la fois les pressions X, Y, Z sur les trois faces. Le travail correspondant sera Ztr ; c'est un travail consommé puisque, Z et w étant négatifs, leur produit est positif. En opérant de même sur les deux faces verticales, on trouve, sous le bénéfice de la même hypothèse, deux travaux Xw et Yr, de sorte que la somme des travaux consommés dans les trois opérations successives (opérations naturelles avec liaisons) est

C'est précisément lu le travail consommé dans l'opération naturelle sans liaisons où les trois pressions agissent à la fois. Il y a donc (§ V) un potentiel externe W(w, r, «•), dont la variation

A, B, . . . étant des foDctions continues de a, ^, . . . et aussi de T, qui est ici constant.

Nous employons la notation 8 pour rappeler que T ne varie pas. D'ailleurs 8S n'est pas une différentielle exacte, sans quoi il existerait un potentiel externe. Quant à 8F, ce sera la différentielle du potentiel interne, calculée dans Thypothèse où T reste constant.

On verra, en raisonnant comme au § VI, qu'une transformation

spontanée, de Fétat (ao, ^o? ...» T) à l'état (a, p, . . . , T), n'est

possible que si Ton a

G-+-Fo— F>o,

et l'on trouvera, pour exprimer que (a, p, . . ., T) est un état d*équilibre, les conditions nécessaires et suffisantes

8F - aG = o, a»F— a*G>o,

dont voici les formes développées

Le cas actuel est, au point de vue analytique, plus général que celui où il y a un potentiel interne. Mais il est moins habituel, au point de vue phvsique, puisqu'il suppose que la transformation spontanée soit extrêmement lente, ou du moins que l'état du système soit entièrement défini pendant la transformation par les mômes paramètres que pendant le repos.

CHAP. Yl. — LES CYCLES POLYTHERMIQUES. QI