CBAP. VII. — T CONSTANT OU SEUL VARIABLE

V. — Expression de la chaleur spécifique. — Le potentiel interne déterminé, à une fonction linéaire près de la température.

De même que nous avons dinerenlié la relation (8), nous allons maintenant différentier la formule (7), après l'avoir ainsi écrite

T' \j Ïj Ce Crt ,

Il suffit de poser encore T' — T ^^ dc et de diviser par dl pour

trouver

c-cq ^/L\ T ~oT\T/'

Si nous tenons compte de l'expression de L obtenue au paragraphe précédent

L=AT['M zIi^(e-0.)].

il viendra

- -^Tri—Vf fo-»»)]-

C — Ce

Séparons les quantités afïectéesde l'indice zéro des quantités sans indice; nous aurons

t ()T* "^ (^T ~" T dT» "' ôT '

Comme ao, ^oj • • • sont des constantes, le second membre se réduit visiblement à une fonction de la seule variable T. Si nous la représentons pour un instant par A'y'(T), nous aurons les deux relations

T "^ ôT* ôT '

^ fJMFo-h6) dÙo

T ~ oT2 dT '

qui ne sont pas distinctes, puisqu'on déduit la seconde de la première en donnant aux variables a, ^, • . . les valeurs a^, ^g, ....

Remarquons d'autre part que le potentiel interne F, en vertu de sa définition, n'est déterminé pour chaque température qu'à

une constante additive près; c'est-à-dire que, considéré comme fonction de a, ^, . . • et de T, il n'esl déterminé qu'd une fonction arbitraire près de T. On peut donc légitimement faire rentrer la fonction ^^ qui ne dépend que de T, dans l'expression même de F, et par conséquent n'en point tenir compte. On arrive ainsi à la formule que nous avions en vue

qui fait connaître la chaleur spécifique en fonction du potentiel interne et du travail thermique.

Mais on se trouve avoir par là même déterminé le potentiel interne, sinon complètement, du moins à une fonction linéaire près de la température. En effet, la relation précédente détermine entièrement la dérivée seconde de F par rapport à T,

(II) ^.p, - ^j -+-xt'

et, en intégrant deux fois, on déterminera F à une fonction linéaire de T près; car et c, que nous supposons connus présentement, sont des fonctions dont la définition ne comporte rien d'arbitraire.

Si, dans les deux intégrations, on prend pour limites T' et T, on trouve

(.,, F .- F-.(T-r)(J -6') .. r\^T^ ;-/rfT f ; ^,

ce qui montre que, pour connaître F(a, p, . . ., T), il suffit de connaître :

i" Les valeurs que F et sa dérivée par rapport à ï prennent pour une température unique T', ou, ce qui revient au même, les valeurs de F pour deux températures infiniment voisines T' et T^-dT;

9,'^ Les expressions des deux fonctions et c dans tout Tinlervalle de T à T.

L'enserable^de tous les termes intégrés constitue précisément la fonction linéaire de T que Ton ne connaît pas, lorsqu'on se donne