V. — Séries numériques

16. Dé/Initions, — Étant donnée une suite indéfinie de nombres entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs,

dont chacun peut être calculé lorsque son rang est connu, ces nombres, ajoutés les uns aux autres dans l'ordre où ils se succèdent, constituent une série et sont appelés les termes de cette série.

On dit qu'une série

est convergente si les sommes S,^ des premiers termes de cette série, pris en nombre de plus en plus grand, forment une suite convergente.

Si les sommes Sn augmentent indéfiniment en valeur absolue avec /i, ou, tout en restant finies, ont des différences mutuelles qui ne tendent pas vers zéro, on dit que la série est divergente.

Exemple. — On a déjà vu que les sommes S« relatives à la progression géométrique décroissante

forment une suite convergente. Cette progression est donc une série convergente.

(') Cette proposition nous servira fréquemment dans l'étude des fonctions.

Supposons maintenant que la raison q soit égale ou supérieure à i; les sommes S/i augmentent indéfiniment avec n. La série est divergente.

Soit enfin q z=. — i , d'où la série

Deux sommes S,| et S,/^.p sont égales ou diffèrent de db i suivant quejt? est pair ou impair. La série est donc divergente.

17. Somme d'une série convergente. — Nous ne considérerons désormais que des séries convergentes. Dans chaque problème où interviendra une pareille série, on n'aura besoin de connaître la somme de ses premiers termes qu'avec une certaine approximation donnée N~*. Or, à partir d'un certain nombre de termes n, les sommes S,i, S„^i, . . ., Sn^p^ . • . diffèrent entre elles de moins de N~^ On appelle 5om/we de la série et l'on désigne par un seul et même symbole S l'une quelconque des sommes S,,,.

Snjf.\ , Au contraire, aucune somme d'indice <^ /i ne devra être

appelée somme de la série.

Si les sommes S/i tendent vers un nombre A, entier ou fractionnaire, comme c'est le cas pour la progression géométrique décroissante, on pourra prendre A pour somme de la série : en effet^ la différence entre A et une somme S,^ est aussi petite qu'on veut quand n est suffisamment grand (n*' 7). Il y a d'ailleurs avantage à prendre A pour somme de la série : i** parce qu'on aura ainsi affaire, soit à un entier, soit à une fraction dont les termes sont petits relativement à ceux des sommes d'indice élevé (n"2); 2** parce que A sera une somme indépendante de l'approximation adoptée, tandis que, nonobstant l'existence de ce nombre A, la somme de la série sera une fraction à termes de plus en plus compliqués à mesure que l'approximation requise sera plus grande.

On appelle reste d'une série convergente la différence

R^j/j = S/i-j-p — Srt = Ufi+\ -h . . . H-i/rt+p.

Quand les sommes S,i tendent vers un nombre A, on peut appeler reste la différence R,i = A — S,|.

18. Séries à termes approchés, — La plupart du temps les termes w<, u^^ .. ., w,i, .. . d'une série ne sont pas des nombres

fixes, mais font partie chacun d'une suite convergente. La notion de convergence et même celle de série seraient illusoires, si Ton ne pouvait, sans altérer profondément la série, remplacer chaque terme iin par l'un quelconque des termes u^^ qui viennent après lui dans la suite convergente dont il fait partie. Nous allons montrer qu'o/i peut faire en sorte que toutes les sommes S^^ ainsi formées diffèrent de V ancienne somme S,i de moins d^une fraction positive e aussi petite qu!on veut, pourvu que n soit suffisamment grand, 11 suffit pour cela de prendre n tel que

la différence u' — Un soit en valeur absolue <^ — -* En effet nous aurons alors

ou, à plus forte raison,

I S-- S, 1< ' fl -H — -+- -!- -h. . .+ ^1 .

' ' ^L 1.2 2.i {n — i)nj

L'expression entre crochets peut s'écrire

\ 2/ \2 3/ \n — i nj n

On a donc bien | S^^ — S,| | <^ e. Ainsi les séries que nous venons de définir seront toutes convergentes, si l'une d'elles est convergente et elles auront même somme; si Tune d'elles est divergente, elles seront toutes divergentes.

19. Nous allons maintenant tirer les premières conséquences qu'entraîne la définition des séries convergentes.

Cette définition revient à dire que, étant donnée une fraction positive e aussi petite qu^on veut, il existe un entier n tel que la différence entre Sn et Sn+p, prise en valeur absolue, soit moindre que e pour toutes les valeurs positives de V entier p,

|S«-Hp— S„|<£ (/>=I,2, ...).

Or ^n+p — S,i n'est autre chose que

Donc, pour qu'une série soit convergente, il faut et il suffit G. R. — I. 3

34 CHAPITRE PREUIER.

que, n étant choisi suffisamment grand, la somme d'un nombre quelconque de termes venant après Un soit en valeur absolue moindre que toute fraction donnée.

Celte condition générale, nécessaire et suffisante, n*est autre chose que la définition même de la convergence, énoncée en termes difl'érents.

On en conclut immédiatement, en faisant/? = i, que le terme Un doit tendre vers zéro quand n augmente indéfiniment. C'est là une condition nécessaire de convergence. Mais cette condition n est pas suffisante. Car la série harmonique

IH h -„ -H...-t- - -h...

satisfait à cette condition. Or si Ton compare la somme

avec la somme

n -h 2 n-\- Il

on aperçoit immédiatement l'inégalité

Sirt — Srt >> ->

qui prouve que la série harmonique est divergente.

Remarque, — Les séries à termes positifs n'ont qu'un mode de divergence : les sommes S« croissent indéfiniment avec n. Car si elles étaient toutes moindres qu'un nombre fixe, comme elles vont en croissant, elles formeraient une suite convergente (n° 12).

20. Théorème. — Une série, à termes tous positifs, étant convergente^ si Von change les signes de certains de ses termes, en nombre aussi grand qu^on veut, on forme une nouvelle série, qui est convergente.

En efi^et, dans le reste ^n,p relatif à la série proposée, sommons séparément les termes dont les signes seront conservés et ceux dont les termes seront changés; soient P et N les deux sommes. Puisque Rw,y?= P + N peut être rendu aussi petit qu'on

veut, il en est nécessairement ainsi de P et de N et, par suite, du reste R'„,^= P — N de la série modiflée.

Théorème. — Une sér^e dont les termes sont alternativement positifs et négatifs y décroissent constamment en valeur absolue à partir d^un certain rang et tendent vers zéro, est une série convergente.

Considérons, en effet, la série alternée

Wi — M2 -H "3 — 1*4-+-... — W2r + W2r-t-l — ...

et supposons Formons la différence

Quelle que soit la parité de /?, la parenthèse est positive et < Un^^ ; donc I S/i^p — S„ I tend vers zéro comme M/i+|.

Exemple. — La série harmonique alternée III ,1 I

remplit toutes les conditions du précédent énoncé. Elle est donc convergente.

Mais si l'on donne le signe -I- à tous ses termes, on obtient une série divergente, la série harmonique considérée ci-dessus.

21. Il y a donc des séries dont la convergence tient aux signes dont sont affectés leurs termes, les valeurs absolues de ces termes formant des séries divergentes. On les appelle séries semiconvergentes, par opposition aux séries dont les termes, pris tous en valeur absolue, forment des séries convergentes et qui ont reçu le nom de séries absolument convergentes. De ce nombre sont les progressions géométriques de raison négative ^ — i.

Voici deux propriétés contraires de ces deux sortes de séries, qui justifient leurs dénominations.

Théorème. — Si Von change arbitrairement V ordre des termes d^une série absolument convergente, les sommes S'„.des

termes de la série modifiée et les sommes S^ de ceux de la proposée forment deux suites équivalentes.

Nous allons montrer qu'on peut trouver deux entiers m et m', tels qu'on ait

quelque petite que soit la fraction donnée e. Soit m un indice tel que la somme des valeurs absolues d'un nombre quelconque de termes venant après u,n soit <^ e : 3. On aura a fortiori

I S/n-i-r — S/rt I <I ô '

Dans la série modifiée, prenons un nombre m' de termes assez grand pour que parmi eux figurent tous les termes de S;,,, avec d'autres, bien entendu. Ces derniers venant tous après ceux de S/^j, leurs valeurs absolues ont une somme «< e I 3. Nous aurons donc

I SJn/ — ^ni I "^ ô*

D'autre part, quelque soitTentier r', la somme S)„^^. ne contient, en plus de S^i, que des termes qui n'appartiennent pas à S/^; pris en valeur absolue, ils ont une somme < e I 3. Donc

Des trois dernières inégalités résulte la première, qu'il s'agissait de vérifier.

22. Théorème. — Si Von change Vordre des termes d^une série semi-convergente^ on peut, en les disposant convenablement, faire en sorte que leurs sommes successives aient telle limite qu'on voudra.

Soient Y^m ^^^m la somme des termes positifs de S^ et la somme des valeurs absolues des termes négatifs de S^. Je dis que les séries Vm et 'i^m sont divergentes. Car si elles étaient convergentes, on aurait, pour m suffisamment grand et quel que fût r,

d'où résulterait

I ^m+r-^ ^m-hr — P//» — ^m \ <! £•

La série formée avec les valeurs absolues des termes de la proposée serait donc convergente, contre l'hypothèse. Si une seule des séries P^ et N;;^ était convergenle, la proposée serait divergente. Ajoutons que les sommes P^ et N;„, composées de termes positifs, ne formant pas des suites convergentes, croissent indéfiniment avec m (n** 19, Rem,),

Appelons (P) et (N) les deux séries divergentes formées, l'une des termes positifs, l'autre des termes négatifs de la série proposée et donnons-nous un nombre arbitraire M. Dans la série (P), prenons le nombre de termes strictement nécessaire pour que leur somme surpasse M; puis dans la série (N), le nombre des termes négatifs nécessaires pour ramener la précédente somme au-dessous de M; puis assez de termes positifs pour dépasser de nouveau M, et ainsi de suite.

Soit S'^ la somme des m premiers termes de la série (S') ainsi formée. Les différences

cr) s;-M, s;-M, ..., s;n-M, ...,

alternativement positives et négatives, tendent vers zéro. Car S^ — M est au plus égale en valeur absolue au terme u^ dont l'introduction dans la série (S') a causé le dernier changement de signe dans la suite (o*),

lS',;.-M|<|Mj,|

et il est visible que, quand le nombre des variations de cette suite ((t) croît indéfiniment, il en est de même de l'indice [jl; par suite, S^ — M tend vers zéro, comme u^.

Remarque, — On pourrait encore, dans les séries (P) et (N), prendre successivement assez de termes pour que leurs sommes fussent tantôt >A, tantôt <^B, A et B étant deux nombres différents, pris à volonté.

On pourrait aussi faire croître indéfiniment la somme des premiers termes de la série modifiée en faisant succéder à un nombre déterminé de termes négatifs un nombre de plus en plus grand de termes positifs.

DÉFINITION GÉNÉRALE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE. FONCTIONS FINIES.

Nous commencerons par donner une première idée de ce qu'on entend par fonction d'une variable > Si à l'un quelconque des nombres compris entre deux autres, a et 6, nous faisons correspondre un nombre y^ nous dirons que y est une fonction de x. Cette définition des fonctions est trop large en un sens et trop étroite dans un autre. Mais, avant de la modifier, il faut insister un peu sur les notions d'intervalle et de variable.