Du même ordre d'idées procède la proposition suivante

Théorème. — Etant données des suites convergentes en nombre indéfini, qui se présentent dans un ordre déterminé,

(l) ai, «2, ...1 «/îr ...»

(a) 6i, ^2, .... bn, ...,

(i) ^lî ^2j • • - 1 ^«, • • . >

o/i prend dans chacune d'elles un terme, et un seul, pour en former une suite

\^) ^fiii ^«j» . • •» '««•)

où les indices /i|, /I2, • . •, ni^ . . ., /ly, . . . vont toujours en croissant. Si la suite ainsi obtenue est convergente, il en sera de même de toute suite

ow a est un terme quelconque de la suite (i) venant après a„ , b un terme quelconque de la suite (2) venant après b„^^ . . . et ainsi des autres. De plus, toutes ces suites sont équivalentes à la suite {s).

En effet, la différence v — ^ de deux termes quelconques de la suite considérée peut s'écrire

Or la première et la dernière de ces trois différences tendent

SUITES CONVERGENTES ET SÉRIES NUMÉRIQUES. 3l

vers zéro, à raison de la convergence des suites (y) et (/); car tij et rii, d'après Thypothèse de Ténoncé, croissent indéfiniment avec j et i. Quant à la différence {s^^. — ^„.), elle tend aussi vers zéro à mesure que croissent y et i, parce que la suite {s) est supposée convergente. De là résulte que la proposée Test aussi.

En outre, à partir d'un rang suffisamment élevé, l'un quelconque t de ses termes et le terme de même rang ^„. de la suite {s) diffèrent, ainsi qu'on vient de le rappeler, d'aussi peu qu'on veut. Donc les deux suites sont équivalentes (*).