II. — Fonctions explicites et fonctions à déterminer

3. Fonctions explicites. — Si à l'un quelconque des nombres :r qui appartiennent à un intervalle (a, b) on fait correspondre une suite convergente connue, ainsi que toutes les suites équivalentes à celle-là, on dit que l'ensemble de toutes ces suites définit une fonction de la variable x dans l'intervalle (a, b).

Il est expressément convenu que, si x' et x sont deux fractions équii^alentes, les suites qui correspondent à x' doivent être équivalentes à celles qui correspondent à x.

On représente par f{x) un terme quelconque, pris à partir d'un rang suffisamment élevé dans Tune des suites qui correspondent à x\ réciproquement, on dit que chacune de ces diverses suites définit la valeur f{x) de la fonction pour la valeur x de la variable (*). Cette valeur est unique en elTet, les résultats devant être, dans chaque question, calculés avec un nombre déterminé de décimales. Si f{x) doit être connu avec /'décimales, par exemple, dans l'une des suites convergentes qui définissent y(^), on choisira le premier terme qui diffère de tous les suivants de moins de lo"'".

(*) La présente définition nous conduira ultérieurement à certaines propositions contradictoires avec celles qu'on enseigne communément. Pour rétablir l'accord, on devrait définir autrement les fonctions. Ce n'est pas seulement à tout nombre déterminé x, mais à toute suite convergente a?,, x^. ..., a7„, ... comprise dans l'intervalle (a, 6) qu'il faudrait faire correspondre le nombre que nous appelons la fonction. Mais ce serait sortir du domaine du nombre pur, où nous voulons nous tenir. En effet, si la suite x^, x^, ..., a7„, ... était irrationnelle, en appelant /(a:) le nombre qu'on lui ferait correspondre, on ne désignerait par X aucun des termes de celte suite, ni môme aucun nombre, et ce qu'on mettrait sous ce symbole ne serait pas autre chose, en réalité, qu'une grandeur.

et Ton ne prendra de ce terme /r(^) que la partie entière et les r premières décimales. On trouvera ainsi un nombre parfaitement déterminé^; c'est celui qui répond à la question. Il est évident que, si Ton opère de même sur l'une quelconque des suites équivalentes qui correspondent au nombre Xj on trouvera toujours le même nombre y pour valeur de /{x). Sous le bénéfice de ces observations, la convention annexée à notre définition des fonctions s'exprimera par la relation

Remarque 1. — Si, à chaque nombre x d'un intervalle (a, b) correspond un nombre fractionnaire parfaitement déterminé y^ il pourra être avantageux de prendre ce nombre même pour/(^); mais la fonction pourra toujours être considérée comme définie, pour chaque nombre x^ par toutes les suites convergentes qui ont comme hmite y.

Remarque IL — Quand il ne s'agira que des valeurs qu'une fonction, supposée donnée, prend pour les diverses valeurs de la variabxc, il suffira évidemment de faire correspondre à chaque x une suite convergente choisie à volonté parmi toutes celles qui définissent /(^).

4. Fonctions à déterminer. — Le plus souvent, dans les applications, les fonctions ne s'introduisent pas directement, mais de la manière suivante. On considère plusieurs nombres ^4, Xq, ..., •Tr, ^r+M . . • , ^// appartenant à un certain intervalle (a, 6) et dont les uns x^^ ^2? • • •? ^r sont quelconques dans l'intervalle, tandis que les autres ^r+u • • •> -^/i sont connus lorsque les premiers sont donnés. On demande de faire correspondre au nombre quelconque :r, compris entre a et 6, des nombres /(:r), f(^), ..., en nombre déterminé, de telle façon que certaines suites d'opérations arithmétiques, effectuées sur les nombres rrj, . . ., ^«^/(^i)? •.., f(xn)', 'f(^Oî •••? ?(^/ï)î ' • "> donnent toutes pour résultat zéro ; ce que nous exprimerons par les équations

F[ar,, ...,:r„; f(xi), ...,/(ar„); «?(a7,), ...,cp(a:«); ...] = o, *[a7i, ...,a7«; /(a7i), ...,/(a7„); ©(a?i ),..., <p(a7;j); ...] = o,

FONCTIONS EN GÉNÉRAL. FONCTIONS FINIES. [\l

Un pareil problème comprend tous ceux que concernent les théories des éc{\xdii\oiis fonctionnelles j des équations aux différences finies, et aussi des équations différentielles, qui ne sont que des dégénérescences de celles-ci.

Le cas le plus simple est celui où n se réduit à i, et où l'on ne demande qu'un seul nombre /(^) correspondant à x. On a alors l'équation

Mais déjà dans ce cas le problème est d'ordinaire insoluble. Nous en modifierons l'énoncé en nous proposant, ce qui sera presque toujours possible, de trouver pour chaque nombre x ^ appartenant à V intervalle ia^ 6), une suite convergente f\{x\ /aC^)? • • 9 telle que les opérations dont F est le symbole, effectuées successivement sur les divers termes de cette suite en même temps que sur x^ aient pour résultats une suite de nombres tendant vers zéro. Nous dirons alors que le problème est résolu par une fonction f{x), si toutefois les termes de toute suite équivalente kf{x)j fiix)^ . . . , soumis avec x aux opérations F donnent aussi pour résultats des nombres tendant vers zéro et si, de plus, ils satisfont toujours, comme ceux de la suite fi{x), f^i^)-, . • . , à la condition qu'exprime la relation

fm-A^-

Voici la raison d'être de la première des restrictions énoncées cidessus : le problème fonctionnel dont dépend la mesure d'une grandeur peut comporter des solutions analytiques de formes diverses, tandis que notre conception de cette grandeur assigne à sa mesure une valeur unique. Il faut donc que les diverses suites qui résolvent le problème analytique soient équivalentes.