III. — Fonctions finies : limites, oscillation moyenne

5. La notion de fonction, telle que nous venons de la définir, est très générale et devra être particularisée successivement. C'est à peine si elle est restreinte dans les fonctions finies y dont nous allons nous occuper.

Définition, — Une fonction définie dans un intervalle (a, 6) a nécessairement une valeur finie pour chaque nombre x compris entre a et 6. Mais il peut arriver que, ce nombre x étant choisi convenablement, la suite convergente qui définit /(^) ait ses termes plus grands que tout nombre donné N. On dit alors que la fonction devient infinie dans l'intervalle (a, 6). Au contraire, si les nombres que nous appelons f{^x^ sont tous inférieurs en valeur absolue à un nombre A, quel que soit x entre a et 6, nous dirons que la fonction /(^r) est finie dans l'intervalle (a, è). Les fonctions finies, malgré leur définition si peu restrictive, jouissent toutes de deux propriétés importantes : elles admettent des limites et elles ont une oscillation moyenne déterminée. La signification précise de ces mots résultera des théorèmes qui suivent.

6. Théorème. — Si une fonction f(x) est finie dans Cintervalle (a^b)^ on peut former une suite convergente de nombres

M,, Mj, ..., M„, ...,

jouissant des deux propriétés suivantes :

1° // est impossible de trouver entre a et b un nombre x tel que la suite convergente dont f(x) est un terme quelconque ail, à partir d'un certain rang, ses termes supérieurs à aucun des nombres Mj , Mg, ... ;

2° On peut, au contraire, déterminer au moins une valeur Ç telle que la suite qui définit f Ci) ait, à partir d^un certain rang, ses termes supérieur à ceux de la suite

Ml — e, Ma— e, ...,

£ étant une fraction positive aussi petite qu'on veut ( ' ).

(*) Les fonctions /(a?) auxquelles s'appliquent ce théorème et le suivant doi-

En effet, considérons un nombre A, que la fonction n'atteint pour aucune valeur x comprise entre a et 6. Diminuons ce nombre A successivement de e, de 2 s, de 3e, . . , . Nous obtiendrons des nombres qui tombent au-dessous de tout nombre donné ; il faut donc qu'il existe un nombre X\ tel que/(;r4) soit supérieur à l'un d'eux, A — nt\ par exemple, tandis que le précédent A — (n — 1)£ surpasse encore /(^), quel que soit ;r. Appelons M| le nombre A — (/i — 1)£. Nous aurons

/(^i)>Mi-s, /(^)<M,.

Par/(^i) nous désignons un terme quelconque de la suite convergente qui correspond à ^r^, pris assez loiii pour que tous ceux qui viennent après lui vérifient la même inégalité.

Nous avons trouvé par un procédé particulier un nombre M| réalisant les conditions ci-dessus. Je dis que tout autre nombre M'^, qui remplit les mêmes conditions, diffère de Mj de moins de e. Soit, en effet,

/(rp;)>M;-6', /(^)<m;,

s' étant inférieur ou égal à e. IjCS inégalités

M;>/(.ri)>M,-£,

Mi>/(^;)>m;-£'

entraînent visiblement

Cette remarque, sans laquelle la connaissance de Mj serait illusoire, va nous servir immédiatement.

De même que l'on a trouvé JVI^, on trouvera d'autres nombres M2, M3, . . . , tels que chacun d'eux surpasse f{cc) quel que soit j; et tels aussi qu'il existe des nombres ^2> ^3? ••• satisfaisant aux inégalités

Je dis que la suite Mi, M2, M3, ... est convergente. En effet, la différence entre M^ et M2 est, d'après ce que nous venons de voir,

vent évidemment être telles qu'on sache, étant donné un nombre B, décider s'il existe des nombres x satisfaisant à l'inégalité /(a:) >B ou à l'inégalité /(a?) <B.

moindre que e; pour la même raison la différence entre Mo et M3 est moindre que -> et ainsi de suite. Si donc nous comparons un terme M,, à l'un des suivants M„+r, nous aurons

\Mn^r-Mn\<z( -^ -^ — -i-,..-h '—) < -^ ,

ce qui prouve la convergence de la suite.

Montrons maintenant qu'il existe entre a et 6 un nombre \ tel que f{l) soit supérieur à tous les nombres

à partir de Tun d'eux, celui de rang n par exemple. A cet effet parlons de l'inégalité

f{Xn)>mn-~

Comme on vient de trouver

|M,.,,.-M„|<^^, on aura a fortiori

et, par conséquent,

f{xn)> M,i+,.— e,

pourvu que n soit égal ou supérieur à 3. Ainsi, à partir de /i = 3, tous les nombres Xn que nous avons considérés satisfont à la question et peuvent être pris pour Ç.

Il est évident que toute suite équivalente à M^, M2, . . . jouit des deux propriétés dont nous avons doué celle-ci.

7. Limite supérieure et limite inférieure. — Si la suite Mj, M2, . . . est une suite rationnelle, nous dirons que sa limite M est la limite supérieure de la fonction f{x) dans l'intervalle considéré. Sinon, nous appellerons de ce nom l'un quelconque des termes de la suite M^, Mo, . . ., à partir d'un rang suffisamment élevé. On définirait d'une manière analogue la limite inférieure d'une fonction dans un intervalle.

Il peut exister une valeur Xg telle que la suite qui définit /(^,)

soit équivalente à la suite Mj, M2, .... On dit alors que pour cette valeur Xg la fonction f{x) atteint sa limite supérieure. Mais c'est là un cas exceptionnel : le plus souvent une fonction ne peut pas atteindre sa limite (*). En voici un exemple simple, qui permet d'en concevoir une infinité d'aulres, plus ou moins difTérents. Le trinôme bicarré

admet visiblement pour limite supérieure l'unité, mais n'atteint pas cette valeur, puisqu'il n'existe pas de nombre x dont le carré soit égal à 2.

8. Nous allons tirer du théorème précédent une proposition qui jouera un rôle important dans la théorie des dérivées, car elle donne le moyen de résoudre le problème qu'on énonce d'une manière vague en disant qu'on cherche le maximum de la fonction. C'est sur elle, en outre, que nous fonderons notre démonstration de la formule des accroissements finis et de celle de Tajlor.

Théorème. — Si une fonction f{x) reste finie dans Vinter- K>alle {a, b) et si elle n'atteint pas sa limite supérieure {ou inférieure), on peut, dans ^intervalle (a, 6), créer une série d'intervalles («i, b\)j («2, 62) ? -- -, {^nt bn), . .., tendant vers zéro, dont chacun est compris dans le précédent et comprend un nombre pour lequel la fonction acquiert une valeur supérieure {ou inférieure) à celles qu'elle acquiert pour les deux limites de cet intervalle partiel.

Divisons l'intervalle (a, b) en deux intervalles égaux (a, c) (c, 6). Dans l'un au moins de ces intervalles, la limite supérieure sera évidemment la même que dans l'intervalle total. Soit («j, bC) cet intervalle. Pas plus que les suites f{a), f{^)t aucune des suites /(«i), /(6|) ne sera équivalente, d'après l'énoncé, à la

(^) Ce résultat est en opposition absolue avec celui qu'on enseigne habituellement. C'est dans cette contradiction qu'il faudra chercher l'origine des divergences qui se manifesteront, notamment dans l'étude des dérivées, entre notre théorie, et la théorie classique.

suite M<, M2, . . . précédemment définie, non plus qu'aucune des

suites /{cir)j f{br) correspondant aux limites des intervalles que

nous allons former. Dès lors, les termes des deux suites /(«<),

f{b\) sont tous, à partir d'un certain rang, inférieurs à ceux de

la suite

où h désigne un nombre qu'on peut calculer.

Mais, en vertu du théorème précédent (n° 6), il existe, dans l'intervalle (ai, 6|), un nombre x^ tel que les termes de la suite définissant f{x^) sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à ceux de la suite

Ml — Ê, M2— s, . . .,

où £ est aussi petit qu'on veut. On aura donc, pour ce nombre X\j

comme nous l'avions annoncé. En subdivisant Tintervalle (a^, b\) en deux autres égaux, et ainsi de suite, nous créons des intervalles à chacun desquels s'applique ce qui vient d'être dit. Ainsi, dans le /i*^™®, il existera un nombre Xn tel que l'on ait

De plus, l'amplitude de cet intervalle étant égale à > ^^^^ > tend

visiblement vers zéro, ce qui complète la démonstration.

Observons, en passant, que la suite des nombres Xi, x^^ ..., Xn-, que nous venons de considérer, est convergente, puisque

Or les ai non décroissants, mais moindres que 6, et les bt non croissants, mais plus grands que a, forment deux suites convergentes, qui sont équivalentes, parce que bn — a,,, tend vers zéro. Mais la suite /(^i), /(:r2), ...,/(^/2), .-. n'est généralement pas convergente. On pourra pourtant affirmer qu'il en est ainsi, quand la fonction /(^r) appartiendra à la classe des fonctions continues dans un intervalle que nous étudierons au Chapitre suivant.

9. Oscillation dans un intervalle. — Une fonction étant finie dans un intervalle (a, è), considérons les deux suites convergentes

Mi, M.>, ... et /7?i, /7I2, . . . qui définissent sa limite supérieure et sa limite inférieure dans cet intervalle. Les différences M| — w, , Mo — m^t -.• forment une suite convergente. Un terme quelconque co de cette suite, à partir d'un rang suffisamment élevé, sera appelé C oscillation de f{x) dans Tintervalle (a, 6). Ainsi l'on peut dire que Toscillalion d'une fonction dans un intervalle est l'excès de sa limite supérieure sur sa limite inférieure.

Si l'on divise l'intervalle (a, b) en plusieurs autres, l'oscillation dans chacun des intervalles partiels est au plus égale à l'oscillation dans l'intervalle total. En effet, la suite qui correspond pour chacun de ces intervalles à la suite Mi, M2, ... ne peut que lui être équivalente ou se composer de nombres plus petits; la suite analogue à /ni, /712, ... ne peut que lui être équivalente ou se composer de termes plus grands. Cela résulte des deux propriétés dont les suites Mj, M2, ... et /n^, m^-i . . ont été douées d'après leur mode même de formation.

10. Oscillation moyenne. — Divisons l'intervalle (a, b) en n autres, («, «<),(«<, ^2)? .-., (a«i, i), d'amplitudes ^i, 6Î2, .-., en, par des nombres croissants «Tj, «2, «3, .. ., an^\- Appelons W|, 102, . . ., (i)„ les oscillations de /{x) dans ces divers intervalles, (1) son oscillation dans l'intervalle (a, 6). Formons la somme

iifi — j •

Nous allons prouver que, si le nombre des intervalles partiels est suffisamment grand et leur amplitude suffisamment petite, les sommes £in diffèrent entre elles d^ aussi peu qiCon veut, quelle que soit la loi de subdivision de V intervalle total {a^ b).

Supposons d'abord que l'on subdivise cet intervalle en intervalles de plus en plus nombreux, en conservant comme limites de certains intervalles dans chaque division les limites de tous les intervalles de la division précédente. C'est là un premier mode de fractionnement qui donne lieu aux sommes

(0 ii/i, û,!., Û„„ ..., Qy, ....

Cette suite de nombres est convergente. En effet, lorsqu'on subdivise un intervalle e où l'oscillation est w en plusieurs autres e'.

e", . . . , OÙ les oscillations sont w', tù"^ . . , , on a visiblement

(o'e'-h(«''e''-h.. .< w(e'4-e''-H...)= toe.

Ainsi les sommes û;i ne peuvent aller en augmentant; comme elles sont toutes positives, elles forment une suite convergente.

Concevons maintenant un autre mode de fractionnement analogue au premier; il donne naissance à des sommes

qui forment une suite convergente.

On peut prendre n et nf assez grands pour que les différences de ûrt avec les termes de la suite (i) et celles de û^, avec ceux de la suite (2) soient toutes moindres que Tj. Nous allons montrer que si t est une fraction dépassant ti d'aussi peu qu'on veut, on a

En eff^et, appelons a le plus grand des intervalles relatifs à û>î? et a' le plus grand des intervalles relatifs à ûj,r. On peut prendre N et N' tels que a soit moindre que le plus petit des intervalles relatifs à Un' et a' moindre que le plus petit des intervalles relatifs à û^. Comparons alors û>, avec Q^. Ceux des intervalles de ûjj qui ne sont pas compris dans un intervalle de û'„. sont en nombre au plus égal à ni , Leur part contributive dans la somme û^ est donc au plus égale à /l'atu : {b — a). Les autres étant tous compris dans les intervalles de ûj, , leur part contributive est moindre que Q^. ; d'où résulte l'inégalité

^ ^ /l'au) .

Mais, d'après l'hypothèse faite sur /i, on a

d'où Ton conclut

(3) Çln—Qn<r^-^r

En comparant Qy avec Q,,, on trouvera de même

Remarquons maintenant que a et a' sont deux nombres indépendants de n el n' , On peut, n et n! étant fixés, rendre a et a' aussi petits qu'on veut, ainsi que n'a et nrx! ] dès lors, en vertu des inégalités (.)) et (4), on aura bien

£ surpassant la fraction ti d'aussi peu qu'on voudra.

Ainsi les sommes û^ diffèrent les unes des autres aussi peu qu'on veut, quelle que soit la manière dont on les a formées, pourvu que n soit suffisamment grand. Nous appellerons l'une quelconque d'entre elles V oscillation moyenne de la fonction dans l'intervalle (a^b). Voici pourquoi. Si les n intervalles e,, ^2, ' ' ' , en sont égaux, chacun d'eux a pour amplitude (6 — a)l n et Q,i est bien la moyenne ((0|H- (02 + . .. -H w,i) : /i des oscillations dans les intervalles partiels. La proposition que nous venons d'établir est due à Riemann et s'énonce ainsi :

Théorème. — Toute fonction, finie dans un intervalle, a dans cet intervalle une oscillation moyenne déterminée.