I. — Condition poiir qu'une fonction soit intégrable

1. Fonctions intégrables. — Considérons une fonction /(^), finie dans un intervalle (a, 6), et soit (^o>^) un intervalle compris dans le précédent. Divisons-le en n autres, {xq^x^). (a:|, ^2)» ' ", (^/?-iî X.) par des nombres croissants x^^ X2^ .... Xfi-i] prenons arbitrairement n nombres l^, ^21 « • • ? 5//, un dans chaque intervalle partiel, et formons la somme

S«=/(Çi)(a?i— a7o)-i-/(Ç2)(a?2— ^i)-^..--^/(ç//)(X- Xn-i).

Chacun des nombres f{lr) est un terme pris dans une suite convergente. Si ces n nombres diffèrent des suivants de moins d'une fraction 7\, et si l'on remplace chacun d'eux par l'un quelconque de ceux qui viennent après lui dans sa suite, la somme obtenue différera de la précédente de moins de ti(X — Xq). Ainsi à un nombre X correspondent des sommes S«, S^^, ... qui forment une suite convergente, lorsque le mode de division de l'intervalle (;ro,X) ainsi que les valeurs intermédiaires $r ne changent

FONCTIONS INTÉGRABLES. 5l

pas. Mais si Ton divise autrement l'intervalle (^oî X)j la suite convergente que le nouveau mode de division fait correspondre à X ne sera pas, en général, équivalente à la première. Quand toutes les suites obtenues par divers modes de division sont équivalentes entre elles, on dit que la fonction f{x) est intégrable entre Xq et X.

2. Théorème. — Pour qu' une fonction J{x)^ définie entre x« et X, soit intégrable dans cet intervalle, il faut et il suffit que son oscillation moyenne entre Xq et X soit nulle (Riemann).

Formons, en effet, une .somme analogue à S^, savoir

Sn'=/(Çi)(^'i-^o)--...-/(Ç;')(X--rr;.0.

Nous allons déterminer un nombre certainement supérieur à la valeur absolue de la différence S^, — S„, nombre qui ne dépendra que des deux modes de division de l'inlervalle {xq^IL) et nullement des valeurs intermédiaires \r et Ç^.. Pour cela, nous introduirons les sommes

SMe, Sme, SM'e', 2/n'e',

où e désigne l'un des intervalles de la première division, M et m représentent ce que nous avons appelé les limites supérieure et inférieure de la fonction f{x) dans l'intervalle e (Ghap. II, n** 7); les lettres accentuées se rapportent à la seconde division. Les sommes SMe, SM'e' sont appelées sommes supérieures: Hme, Sm'e' sont les sommes inférieures.

Nous prouverons que toute somme supérieure SMe est plus grande que toute somme inférieure S m' e'. Pour cela, superposons les deux divisions (n) et(/i'); soient g" les nouveaux intervalles résultant de cette superposition, M" et m" les limites de la fonction dans chacun d'eux. Il est évident que, lorsqu'on multiplie les intervalles en conservant les anciennes divisions, les sommes supérieures ne peuvent que décroître et les sommes inférieures ne peuvent que croître. De là résultent les inégalités

qui établissent la proposition.

et, par suite,

Cela posé, nous avons

"Lme <S„ < SMe, 2/n'e'<S;,'<SM'e'.

iS;»— S„|<2Me-2m'e',

ce que nous écrirons ainsi

|S;,'— S«| <(:SMe — 2/ne)4-{SM'e'— m'e')-(2M'e'— Z/ne).

Mais, d'après ce qui précède, le dernier binôme est positif. On a donc, à plus forte raison,

(0 et 0)' étant les oscillations de la fonction dans les intervalles e et e'; û^ et Q^. sont, au facteur X — Xo près, les oscillations moyennes (Chap. II, n° 10) de la fonction f{x) dans Tintervalle (;ro,X), pour les deux modes de division (/i) et (n'). Le résultat est, comme on le voit, indépendant des nombres intermédiaires Çr, ir- Il n'implique aucune hvpothèse sur/(^), si ce n'est que/(^) soix. finie entre Xq et X.

Gela posé, nous savons que, quand les intervalles deviennent suffisamment nombreux et suffisamment petits, les sommes un ? Ù'j^. diffèrent aussi peu qu'on veut. Si donc elles tendent vers zéro, la fonction /(j;) est intégrable. Cette condition est évidemment suffisante.

Je dis qu'elle est nécessaire. Considérons, en effet, un mode de division déterminé; soient Cr l'un des intervalles. M;, et nir les limites supérieure et inférieure correspondantes. On peut, dans cet intervalle, trouver deux nombres î^r et 'Ç^. tels qu'on ait

/(Çr)>M;,-£, /(C;)</M,.H-e,

la fraction e étant donnée aussi petite qu'on veut. On conclut de là

2/(ïr)^r< 2m;,e,.-4- e(X — Xq),

et, par suite, Q désignant l'oscillation moyenne,