Çr)<?r- S/(Çr)e/-> Û(X - 070) -^ 2£(X~^o

FONCTIONS INTÉGRABLKS. 53

Mais/(^) étant supposée inlégrable, les deux sommes particulières qui figurent au premier membre diffèrent aussi peu qu'on veut, quand la division de rinlervalle (^Tq, X) est poussée assez loin, ce qui entraîne û = o.

Le théorème est donc démontré. Rappelons la définition deM^. C'est un terme quelconque d'une certaine suite convergente qu'on sait former; mais il doit êlre pris assez loin pour qu'il existe dans l'intervalle Cr un nombre X^r tel que la différence M;. — /(Çr) soit moindre que toute fraction e, aussi petite qu'on veut, et que cette inégalité subsiste, une fois e fixé, pour tous les termes qui viennent après Mr dans la suite en question. Nous avons démontré (Chap. II, n** 6) qu'il existe une suite M| , M2, . . . , M^, . . • jouissant de cette propriété.