II. — Fonctions continues dans un intervalle

3. Définition, — On dit qu'une fonction f{^x) est uniformément continue dans un intervalle (^o^X), ou plus brièvement qu'elle est continue dans cet intervalle, si, étant donnée une fraction positive e aussi petite qu'on veut, on peut déterminer un nombre positif a, tel que, pour deux nombres quelconques x^ x' appartenant à l'intervalle et différant de moins de a, les valeurs de/(x) et de/(x') diffèrent entre elles de moins de e.

Pary(a:) elf[x')^ nous entendons deux termes des suites convergentes qui définissent /(;r) et/(^'), de rang n suffisamment élevé pour qu'ils satisfassent à l'inégalité

ainsi que tous ceux qui viennent après eux dans leurs suites respectives. Voici une manière de concevoir comment cette condition pourra être vérifiée. On peut toujours, à raison de la convergence des suites f{x) et f{x')^ assigner un indice n tel qu'on ait, quels que soient les entiers positifs/? et/?',

\fn^p{x) —faix) \<y \fn^p'{00')-fn{x')\<y

Si, de plus, n peut être choisi assez grand pour qu'on ait aussi

\Mx')^Mx)\<y

ces trois inégalités entraînent visiblement

\fn+p'{x') —fn+p{x) |< S.

Ainsi pour/(:r) el/{x') on pourra prendre /„(^) ei /n{^') ou l'un quelconque des termes qui suivent ceux-là.

4. Théorème. — Une fonction continue dans un intervalle {.Xq, X) est finie dans cet intervalle.

Prouvons qu'on peut assigner un nombre positif L tel qu'il n^existe entre x^ et X aucun nombre x pour lequel |y(a:)| soil plus grand que L. A cet effet, subdivisons l'intervalle (.To, X) en n autres (o^o, ^i), (^i, ^2)^ • • • ^ {^h-k-) X) tels que dans chacun de ceux-ci les valeurs de la fonction diffèrent entre elles de moins de e, et considérons un nombre quelconque x compris entre x^ et X; il appartiendra à l'un des intervalles partiels, à [xr^ ^/+i) par exemple. Pour calculer une limite supérieure de \f{x) — ^/(^o)|? ('écrivons

\f{x) -f{Xo) I = \f(x)-f{x,:)-^J(Xr) ~f{Xr-l) -^r- . . .-^ f{x,) -f{x,) \.

Nous aurons, d'après cela,

|/(^V-/(^o:)|<|/(^)-/(-^r)H- \f{Xr) fiXr-i)\ -h...-f-|/(^l)-/(^0)l:

et à plus forte raison

\f{x)-/(Xo) -.\AX)-/(Xn-,)\ -'-... -i-JiXr-,,)- AX)\

Chacun des termes du second membre étant moindre que e, nous concluons

\f(x)-f(xo)\<{n-hi)s,

ce qui montre bien que \/(^) \ ne peut dépasser le nombre fixe

FONCTIONS INTÉGRABLES. 55

o. Ïhéorèmk. — Si une fonction f{x) est continue dans un intervalle (xo, X), on peut décomposer cet intervalle en d^ autres assez petits pour que, dans chacun d'eux, V oscillation de la fonction soit moindre qu^ une fraction donnée tj aussi petite quon veut.

En effet, d'après la définition qui précède, il existe un nombre positif a tel que, pour deux nombres quelconques x, x' ^ compris entre Xo et X et différant de moins de a, on ait

Dans rintervalle partiel d'amplitude a auquel appartiennent x et x'y la fonction/ admet une limite supérieure M et une limite inférieure m. On peut supposer que x et x' soient précisément parmi les nombres (Ghap. II, n°^ 6 et 7) pour lesquels on a

Des trois inégalités résulte M — m<^r\,

La réciproque est évidente : Une fonction étant définie dans un intervalle {xq^ X), si Von peut décomposer cet intervalle en d^ autres assez petits pour que dans chacun d^eux V oscillation de la fonction soit moindre que toute fraction donnée, aussi petite qu'on veut, cette fonction est continue dans Vintervalle (^0 7 X).

De la propriété ci-dessus, qu'on pourrait prendre pour définition de la continuité, il suit immédiatement que ^oscillation moyenne est nulle. Si en effet les intervalles partiels sont assez petits pour que l'oscillation n'y dépasse pas e, l'oscillation moyenne dans l'intervalle [xq^ X) sera inférieure à

X Xq

fraction qu'on peut prendre aussi petite qu'on veut.

6. La contiouité dans un intervalle est étroitement liée à la convergence des suites, en vertu de la proposition suivante, qui permet dans beaucoup de cas de décider de cette continuité :

Théorème. — Pour qu^ une fonction f{x) soit continue dans Cintervalle [x^^ X) il faut et il suffit que, pour toute suite convergente de nombres

(i) ^1, Xi, .... ar^, ...

compris entre a et b^ la suite

soit elle-même convergente.

La condition est nécessaire. En effet, la suite (i) étant convergente, on peut prendre n assez grand pour que Xnjf.p et Xn diffèrent aussi peu qu'on voudra :

D'autre part, si la suite (a) n'était pas convergente, les différences mutuelles de ses termes finiraient par rester supérieures à un nombre assignable h et l'indice n pourrait être supposé tel qu'on eût

\f{Xn-i-p)-'f{Xn)\ Ih.

Cette inégalité et la précédente sont en contradiction avec l'hypothèse de la continuité. Donc la suite ('x) est convergente, si f{x) est continue dans l'intervalle (^o? ^).

Supposons maintenant que, quelle que soit la suite convergente (i), la suite (2) soit convergente. Je dis que la fonction f{x) est continue dans l'intervalle considéré. En effet, si elle n'était pas continue, on pourrait déterminer entre ^Tq et X une suite d'intervalles tendant vers zéro

dont chacun serait compris dans le précédent et contiendrait au moins un couple de valeurs

FONCTIONS INTÉGRABLES. 5 7

telles que les différences

fussent toutes supérieures à un nombre déterminé h (calculable si Ton connaissait la loi de formation de la fonction/). Ainsi la suite

ne serait pas convergente. Nous arriverons donc à une contradiction si nous prouvons la convergence de la suite

Or la suite «i, «2? • • • et la suite b^^ b^^ ... sont convergentes. Car les termes de la première ne sont pas décroissants et sont tous plus petits que X; ceux de la seconde ne sont pas croissants et sont tous plus grands que Xç^, De plus, ces deux suites sont équivalentes, puisque bn — a« tend vers zéro. De là résulte manifestement la convergence de la suite

a,, 61, «2, ^21 •••, ««î bn, ...,

et aussi celle de la suite

dont les termes s'intercalent par couples entre a^ et b\^ a^ et

i/o» . • • , (lu et ^/î j • • . .

En conséquence, l'hypothèse de la non-continuité Ae f[x) est inacceptable.

Remarque, — Si la fonction /(^r) est pour toute valeur de x un nombre bien déterminé, il n'y a aucune difficulté à concevoir et à former la suite (3). Mais si à chaque valeur de x répond une suite convergente dont/(^) est un terme, il faudra, pour former la suite (3), prendre dans chacune des suites qui correspondent respectivement k x^^ x\^ x^^ x\,^ , , . ^ Xn, x'^^ ... des termes de plus en plus éloignés à mesure que grandit Findice n. C'est ce que nous avons expliqué en détail à la fin de la théorie des suites convergentes (Chap. I, n° 15).