III. — Fonctions continues pour une valeur de la variable

7. 11 y a lieu de considérer aussi une autre sorte de continuité des fonctions. On dit que la fonction f{x) est continue pour la valeur x^ si l'on peut calculer un nombre positif a tel que, pour tout nombre h moindre que a en valeur absolue, on ait

\f{oo^h)-f{x)\<z,

6 étant une fraction aussi petite qu'on veut.

D'après cette définition, toute fonction continue dans un intervalle est continue pour tout nombre x appartenant à l'intervalle. Mais la réciproque n'est pas vraie. Nous avons en effet prouvé que toute fonction continue dans un intervalle reste Jinie dans cet intervalle. Or une fonction peut être continue pour tout nombre X appartenant à un intervalle sans rester finie dans cet intervalle.

C'est ce qui a lieu, par exemple, pour la fonction

relativement à l'intervalle qui a pour limites i,4 et i,5. Elle est continue pour toute valeur x appartenant à cet intervalle. On a, en effet,

d'où l'on conclut

{x^-'i)[{x-.-hY-i^\

Or a: et ^ -+- h étant compris entre i ,4 et i ,5, le module de la quantité qui figure au dénominateur du second membre est supérieur à

[(i,4)^-'^? = o,ooi6.

De là résulte immédiatement

\f{x^h)-f{x)\<i^oo\h\.

ce qui prouve notre assertion. D'autre part, la fonction f{x) devient dans l'intervalle considéré supérieure à tout nombre N, si

FONCTIONS INTÉGRABLES. Sq

grand qu'il soit. Car l'inégalité

revient à la suivanle

à laquelle on satisfait par toute valeur de x comprise entre i,4 etR: N, en désignant par R la racine carrée entière de N (2 N+ i). Ainsi la continuité dans un intervalle est une condition beaucoup plus restrictive que la continuité pour chaque valeur x comprise dans l'intervalle. Nous ne désignerons désormais, sauf avis contraire, sous le nom de fonctions continues que des fonctions continues dans un intervalle.