IV. — Formation de fonctions continues

8. De la définition que nous avons donnée des fonctions on déduit aisément que si /(x) et ^{x) sont deux fonctions définies dans un inter\?alle (^0? X), leur somme f -^ cp, leur produit f(f et leur quotient f \ cp sont des fonctions de x dans le même intervalle.

Pour la somme et le produit, la proposition est vraie sans restriction; quant à la fonction / : y, elle cessera d'être définie si la fonction <f{x) admet une racine dans l'intervalle considéré. On dit qu'une fonction ^{x) admet une racine dans un intervalle {xo, X), s'il existe, dans l'intervalle, soit un nombre Ç tel que la suite convergente qui définit /(?) ait pour limite zéro, soit une

suite convergente irrationnelle ^1, x^ ^/o • . • telle que les

valeurs correspondantes ç(^<), ^{x^}, • • , o(Xn)j • • - forment elles-mêmes une suite convergente ayant pour limite zéro.

Supposons maintenant que les deux fonctions /et © soient continues dans l'intervalle (^Tq, X); les combinaisons /+ f et /cp jouiront de la même propriété, ainsi qu'on le voit sans peine. Quant à la fonction /: (p, elle sera continue aussi, sous la restriction énoncée plus haut. Si cette condition n'est pas remplie, elle pourra, soit perdre toute signification comme la fonction i : X pour X = 0^ soit rester, comme la fonction i : (x- — 2),

6o CHAPITRE III.

continue pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle, tout en n'étant pas continue dans cet intervalle. Dans un cas comme dans l'autre, on dit qu'elle éprouve une discontinuité, en devenant infinie.

L'exemple le plus simple de fonction continue dans un intervalle est fourni par les puissances entières et positives de la variable : la fonction x^ est même continue dans tout intervalle. Avec les diverses puissances de la variable, multipliées par des coefficients constants (nombres indépendants de la valeur x) et ajoutées les unes aux autres, on forme de nouvelles fonctions continues : ce sont les polynômes entiers. Les quotients de deux polynômes entiers, ou fractions rationnelles, sont aussi, sous les réserves faites, des fonctions continues.