Définitions. — Une fonction f{x) étant finie dans un

intervalle (^oî X), on divise cet intervalle en n autres et l'on fait ^

la somme des oscillations co^, 0)2, . . . , co,^ de la fonction dans ces l

intervalles. Si cette somme reste inférieure à un nombre déter- /

miné A, quel que soit le nombre des intervalles formés, quelle C

que soit leur petitesse, quelle que soit la loi de subdivision, nous Z dirons que f{x) est une fonction à oscillation totale limitée.

En vertu de cette définition, l'oscillation moyenne est nulle. On f

peut, en efl'et, pour l'évaluer, supposer tous les intervalles égaux ; u^

on trouve ainsi \^

valeur qui devient nulle quand n grandit indéfiniment. 5

Une fonction f{x) est constante dans V intervalle (xo, X) si, |

quels que soient les deux nombres x et x' appartenant à l'inter- L

valle, les deux suites qui définissent f{x) et f{x') sont équiva- J

lentes. Son oscillation moyenne est évidemment nulle. ér

Une fonction /(j») est croissante dans l^ intervalle (xq^ X) si, V X et x' étant deux nombres quelconques de l'intervalle, le second plus grand que le premier, les termes de la suite convergente qui définit /(^'j sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à ceux

FONCTIONS INTÉGRÂBLES. 6l

de la suite qui définit f{oc). Si c'est le contraire qui a lieu, la fonction est décroissante dans V intervalle {xq, X). Pour de telles fonctions, l'oscillation totale a)| + CO24- • . • -i- w,, est, au signe près, égale à /(X) — /(^o); en conséquence, leur oscillation moyenne est nulle.

Une fonction e§t croissante pour la valeur x^ s'il est possible de déterminer un nombre positif a tel que, sous la seule condition I A I <; a, la différence

ait le signe de A. C'est ce qu'exprime l'inégalité

qui doit avoir lieu pour tous les termes, pris à partir d'un certain rang, des deux suites qui définissent f{x -f- h) et /(x).

Une fonction croissante dans un intervalle (xo,X) est évidemment croissante pour tout nombre x compris entre Xq et X. Mais la réciproque n'est pas vraie. Ainsi la fonction

est croissante pour toute valeur positive x\ mais, tandis qu'elle est positive pour x compris entre zéro et i, elle a le signe moins quand a: est supérieur à i, de sorte qu'elle n'est pas croissante rf«/i5 l'intervalle (o, 2) par exemple.

Si l'on rapproche ces définitions de celle des fonctions continues dans un intervalle, on voit qu'une fonction peut être continue dans un intervalle et n'avoir pas son oscillation totale limitée, ce qui entraîne qu'elle ne soit ni croissante, ni décroissante dans cet intervalle, Pareillement, une fonction peut avoir son oscillation totale limitée dans un intervalle sans être continue dans cet intervalle, ainsi que nous allons le voir.

10. Discontinuités ; saut brusque, — Si une fonction n'est pas continue dans un intervalle (^o? X), on dit qu'elle est discontinue ou qu'elle présente des discontinuités dans cet intervalle. On exprime par là que, l'intervalle (jTo, X) étant subdivisé en G. R. — I. 4*

d'autres, aussi nombreux et aussî petits qu'on voudra, il y aura toujours certains de ces intervalles dans lesquels Toscillation de la fonction sera supérieure à un nombre déterminé : ce sont là ce qu'on appelle les intervalles de discontinuité. Il va sans dire que toute fonction finie est nécessairement continue dans tout intervalle qui n'est pas un intervalle de discontinuité.

Pour définir la discontinuité particulière qui est appelée saut brusque, considérons une suite convergente

de nombres croissants et la suite

des valeurs correspondantes (Chap. II, n** 3) de la fonction /(^), suite qui sera supposée convergente. On suppose de plus qu'à toute suite croissante

équivalente à la suite (4), corresponde une suite

qui soit équivalente à la suite (5).

Considérons, d'autre part, une suite

de nombres décroissants, équivalente à la suite (4), et supposons que la suite correspondante

soit convergente. Supposons encore qu'à toute suite décroissante

équivalente à la suite (8), corresponde une suite

(«0 /aw f{\',\ ..., /($;,), ...

qui soit équivalente à la suite (g).

Cela étant, nous distinguerons deux cas, selon que les suites (4) et (8) sont irrationnelles ou rationnelles (Chap. I, n° 6).

FONCTIONS INTÉGRABLES. 63

i^ Les suites (4) et (8) étant irrationnelles, si les deux suites convergentes :

ne sont pas équivalentes, on dit que 1a fonction f{x) fait un saut brusque dans l'intervalle (^mi x'r) q^î ^ pour limites l'un des termes Xm de la suite (4) et Tun des termes x'^ de la suite (8); V amplitude du saut brusque est Tune quelconque des valeurs de la différence

l'indice /i étant tel que /{x\^^p) et /{xn+p) diffèrent respectivement aussi peu qu'on voudra de f{x]^) et de /(x^), quel que soit l'entier positif/?.

2^* Les suites (4) et (8) étant rationnelles, c'est-à-dire ayant une limite x, on comparera les suites correspondantes (5) et (9) soit avec la valeur /(^) que la fonction prend pour cette valeur limite x, si elle est définie par des nombres (Ghap. II, n° 3, Remarque 7), soit avec l'une des suites convergentes et équivalentes

(12) /l(^), M^), '"■> fnix), ...

que l'on fait correspondre, dans le cas général, au nombre considéré x^ pour définir /(^).

Si une seule des suites (5) et (9) est équivalente à la suite (12), la fonction ferai pour la valeur x un saut brusque en tout pareil à ceux dont il vient d'être question 5 M amplitude de ce saut brusque sera représentée par l'une des différences

selon que la suite (12) sera équivalente à la suite croissante (4) ou à la suite décroissante (8).

Si aucune des suites (5) et (9) n'est équivalente à la suite(i2), la fonction fait, pour la valeur x, deux sauts brusques, le premier avant^ d'amplitude

le second après, d'amplitude

Dans le cas présent, il peut arriver que les deux suites (5) et (9) soient équivalentes entre elles : il y aura toujours double saut brusque, si elles ne sont pas équivalentes à la suite (12).

Exemples. — Voici un premier exemple de saut brusque. Anticipant sur les propriétés de la fonction exponentielle, qui sera étudiée au Chapitre suivant, considérons la fonction

etsoit:r« la racine carrée arithmétique de 2 par défaut k io~" près; les nombres

(4) ^I» ^21 .-., ^ni •••

forment une suite croissante, qui est convergente et irrationnelle (Chap. I, n"^5 et 6); les nombres correspondants

(5). fix,\ f(x^h ..., /(^,*), ...

forment une suite convergente qui a pour limite V unité. A toute suite (6) équivalente à la suite (4) correspond une suite (7) qui a aussi pour limite l'unité.

D'autre part, soit x'^ la racine carrée arithmétique de 2 par excès à 10"'^ près; les nombres

forment une suite décroissante et é(\ui\d\eTïie à la suite (4); les valeurs correspondantes de la fonction

forment, une suite convergente qui a pour limite zéro, A toute suite (10), équivalente à la suite (8), correspond une suite (11) qui a aussi pour limite zéro.

En conséquence, la fonction /(j;) fait un saut brusque d'amplitude égale à — i, dans un intervalle qu'on peut resserrer à volonté, en lui donnant successivement pour limites les nombres i et 2, les nombres i,4 et i,5, les nombres i,4i et 1,42, Ainsi

FONCTIONS INTÉGRÀBLfiS. 65

il est prouvé qu'uQC fonction peut faire un saut brusque dans un intervalle, bien qu'elle soit continue pour tout nombre appartenant à cet intervalle.

Voici un autre exemple de saut brusque ; il est fourni par la fonction

à laquelle nous assignerons la valeur i pour a; = o. Quand x tend vers zéro par valeurs croissantes, ^{x) tend vers l'unité. Quand x tend vers zéro par valeurs décroissantes, o{x) tend vers zéro.

Ainsi la fonction ^{x) fait un saut brusque d*amplitude égale à — I pour la valeur x=o.

11. Théorème. — Une fonction, quia son oscillation totale limitée dans un intervalle {xq, X), ne présente dans cet intervalle d'autres discontinuités que des sauts brusques; et, si Con dis?ise l'intervalle (xq, X) d'une façon quelconque, en intervalles partiels aussi nombreux et aussi petits qu'on voudra, le nombre des intervalles partiels dans lesquels la fonction fait un saut brusque d'amplitude supérieure en valeur absolue à un nombre fixe /, est fini.

Considérons, en effet, dans l'intervalle (^o X), une suite convergente

(4) ^i> ^4> ---^ ^«î ••• croissante, mais d'ailleurs quelconque, et soient

(5) /(ari), f{x^\ ..., /(^„), ...

les valeurs correspondantes de la fonction. L'oscillation totale dans l'intervalle (a;t, Xn) est au moins égale à

Mais, par hypothèse, elle est limitée. Donc la série précédente, composée de termes positifs, est convergente. On en conclut (Ghap. I, n"* 13) que la suite (5) est convergente.

A toute suite croissante

équivalente à la suite (4), correspond une suite,

(7) Aui /ath ..., /(5n), ...,

qui est nécessairement équivalente à la suite (5); sans quoi, avec les deux suites de nombres Xn et $«, on composerait une seule suite croissante à laquelle correspondraient des valeurs de / qui ne formeraient pas une suite convergente, contrairement à ce qui vient d'êtrie démontré.

On verra de même qu'à toute suite convergente

décroissante, mais d'ailleurs quelconque, correspondent pour la fonction des valeurs

qui forment une suite convergente et qu'à toute suite

(10) îi, îi, ..., in> ...,

équivalente à la suite (8), correspond une suite

(II) /(î'i), /(?;), /($;), ...

qui est nécessairement équivalente à la suite (9).

Dès lors, la fonction /(a:) ne peut présenter de discontinuité, dans l'intervalle (xq, X), que dans l'un des deux cas suivants :

I® A deux suites irrationnelles (4) et (8) correspondent deux suites (5) et (9) non équivalentes entre elles ;

2° A deux suites rationnelles (4) et (8), ayant pour limite ^, correspondent deux suites (5) et (9) dont une au moins n'est pas équivalente à celle qui définit /(a:).

Dans un cas comme dans l'autre, la discontinuité considérée est un saut brusque, ce qui prouve la première partie de l'énoncé.

La seconde est évidente : le nombre n des intervalles dans lesquels la fonction fait un saut brusque d'amplitude supérieure en valeur absolue au nombre / est nécessairement fini, sans quoi l'oscillation totale dans l'intervalle (xq^ X), qui est supérieure à n/, ne serait pas limitée.

FONCTIONS INTÉGRABLES. 67

VI. — Fonctions continues à oscillation totale limitée ou fonctions rectiâables.

12. Nous allons étudier les fonctions remarquables qui jouissent de la double propriété d'avoir leur oscillation totale limitée dans un intervalle et d'être continues dans cet intervalle.

Théorème. — Une fonction f i^x^ étant continue et à oscillation totale limitée dans un intervalle {x^^ X), si Von subdivise cet intervalle en d'autres, suffisamment nombreux et suffisamment petits^ les sommes des oscillations correspondantes diffèrent entre elles d aussi peu que Von veut, quel que soit le mode de division adopté.

Remarquons tout d'abord que si, après avoir divisé l'intervalle (^Tq, X) d'une certaine manière, on pousse le fractionnement de plus en plus loin, en subdivisant toujours les intervalles précédemment créés, la somme (r„ des oscillations w^, Wj, . . ., w^ de la fonction dans les divers intervalles ne peut que croître avec n ou tout au moins rester constante. C'est ce-dont il est facile de s'assurer. Il suit de là que les sommes

qui correspondent à des fractionnements successifs, forment une suite convergente, puisque par hypothèse aucune d'elles ne surpasse un certain nombre A.

Considérons maintenant les sommes

^'n'i ^îip ^«'2? •••» ^N'î •••»

relatives à des fractionnements successifs dans un autre mode de division de l'intervalle {Xq^ X). Ces sommes forment aussi une suite convergente, et l'on peut, se donnant arbitrairement une fraction positive e, choisir n et n' assez grands pour que les nombres <Sn et o*^. aient, avec tous les termes qui viennent après eux dans leurs suites respectives, des différences moindres que toute fraction 7\ <[ e.

Cela posé, prenons l'indice N assez grand pour que le plus

68 CHAPITRE m.

grand des intervalles qui servent à former la somme <Tj, soit plus petit que le plus petit des intervalles relatifs à o-^», et comparons <t'„» avec <Tj,. Certains intervalles de o-j, peuvent empiéter sur deux intervalles consécutifs de o-J,.; leur nombre est au plus égal an'. Séparons chacun d'eux en deux autres, dont l'extrémité commune soit précisément celle des deux intervalles de o-'„, sur lesquels il empiète. Soit w Toscillation dans l'intervalle considéré avant son fractionnement; l'oscillation dans chacun des deux intervalles nouveaux est au plus égale à w. L'effet du partage de Tintervalle primitif a donc été d'augmenter o-^ au plus de w, donc de moins de a, si a désigne la plus grande oscillation dans les divers intervalles de <Tk- A" total, <t^ a augmenté au plus de n'a, et les nouveaux intervalles sont tous compris dans ceux de o-'„.. D'où l'inégalité

D'autre part, on a

en sorte qu'il vient

<y'/i' — «Tn < TT) -h n'a.

Or n et n' sont fixes, tandis que N est aussi grand qu'on veut; comme/(a:) est continue, l'oscillation désignée par a tend vers zéro à mesure que N augmente. On peut donc rendre r\ -\- n'a plus petit que e ; d'où

Si maintenant on désigne par N' un indice assez grand pour que le plus grand des intervalles qui servent à former a'^. soit plus petit que le plus petit des intervalles relatifs à (T/i, en comparant <Tn avec o-Jç», on prouvera qu'il est possible de satisfaire à l'inégalité

On a donc bien

I <I/t — <yn' I < s,

ce qui démontre le théorème. On voit que l'oscillation totale des fonctions considérées n'est pas seulement limitée, mais qu'elle est déterminée, puisque les sommes <t« diffèrent aussi peu qu'on veut les unes des autres, quand n est suffisamment grand et l'amplitude de chaque intervalle suffisamment petite. L'un quelconque

FONCTIONS 1NTÉ6RÀBLES. 69

de ces nombres <t„ pourra donc être appelé V oscillation totale de la fonction dans l'intervalle [xq^ X).