FONDÉE SUR L'IDÉE DE NOMBRE

L'édifice logique qu'est une science de construction dépend essentiellement des notions qu'on met en œuvre pour le composer et du but qu'on lui assigne. Il faut donc dire d'après quelles vues nous entendons constituer l'Analyse mathématique et spécialement l'une de ses parties les plus importantes, la seule que nous exposerons ici: la Théorie des fonctions d'une variable réelle.

L'Analyse mathématique est la plus simple de toutes les sciences : elle repose sur une idée unique et irréductible, l'idée de nombre. Il s'en faut que les autres sciences de construction aient ce même caractère de simplicité. La moins complexe de ces sciences après l'Analyse, la Géométrie, est fondée sur un ensemble de postulats multiples, empruntés à l'expérience, et qui sont loin de rentrer tous dans le seul concept de l'étendue. Au contraire, on peut édifier l'Analyse tout entière sur la seule idée de nombre : on ne l'a pas fait encore, ainsi que nous l'expliquerons tout à l'heure; nous le ferons au cours de cet Ouvrage.

Quant au but que nous assignons à l'Analyse, ce n'est pas le plus général qu'on puisse concevoir : il est, au contraire, absolument défini. Diverses grandeurs, que nous considérons comme mesurables, n'étant pas directement accessibles à l'expérience, il arrive souvent que les principes de la science particulière qui traite de ces grandeurs permetteut d'établir des relations mathématiques entre les nombres inconnus qui les mesurent et d'autres nombres qui sont connus. Dégager de ces relations les nombres demandés sera pour nous le but de l'Analyse mathématique. G. R. — I. I

Nous allons d'abord donner à la notion de nombre toute l'extension nécessaire et préciser la nature des objets auxquels s'appliquera l'Analyse.

Ensuite nous exposerons les raisons qui nous font écarter de notre science, les unes comme inutiles, les autres comme injustifiés, des notions et des développements qui occupent une place centrale dans les traités modernes d'Analyse.

Enfin nous rappellerons deux faits capitaux, mis en lumière par la psychologie expérimentale, auxquels il nous suffira d'avoir constamment égard, pour poser, dans les termes les plus favorables à leur solution, les problèmes mathématiques auxquels conduit l'étude des grandeurs.

Notre objet étant de constituer l'Analyse entière avec la seule idée de nombre, le nombre sera le seul élément sur lequel nous opérerons ; c'est-à-dire que toute lettre représentera toujours pour nous un nombre, au lieu d'être le plus souvent, comme dans les théories classiques, le signe d'une grandeur. C'est pourquoi, avant d'aller plus loin, il est indispensable, sinon de définir le nombre, ce qui est impossible, du moins d'en élucider le concept pour le purifier de tout alliage de notions étrangères.

Nous entendons clairement ce que veut dire compter ou dénombrer des objets distincts. Le nombre de ces objets, c'est la représentation que nous nous formons de leur ensemble lorsque nous faisons abstraction de tous les caractères qui les diff'érencient. Les nombres dont nous acquérons la notion par cette voie sont appelés les nombres entiers, La théorie des nombres entiers n'a pas d'autre fin que d'enseigner diverses manières de compter des objets donnés, ou, inversement, que de trouver combien on doit prendre d'objets pour pouvoir les répartir en tels ou tels groupes. C'est là ce qu'on entend lorsqu'on parle de propriétés des nombres : pour s'en convaincre, il suffit de réfléchir un instant à l'énoncé des théorèmes même les plus ardus et les plus élevés de l'Arithmétique.

Plusieurs propriétés des nombres entiers interviennent dans l'Analyse. Aucune n'est plus souvent impliquée que celle-ci : la suite des nombres entiers est illimitée. Cela signifie que nous pouvons toujours imaginer un objet en sus de ceux sur lesquels se porte actuellement notre attention : il n'y a donc rien d'obscur dans cette proposition, où plusieurs ont voulu voir un insondable mystère. Ce n'est que l'application, faite au plus simple et au plus rudimentaire de tous les cas, de notre faculté d'imagination.

Sur la seule notion de pluralité, c'est-à-dire d'objets distincts, qui contient toute l'Arithmétique des nombres entiers, on a essayé de fonder une théorie des fractions. Dans celte théorie, les fractions sont des couples de nombres entiers qui jouissent par définition des propriétés qu'on leur découvre par voie de démonstration, lorsqu'on leur assigne pour origine la partition des grandeurs. On a constitué de la sorte un système cohérent, dans lequel on a cherché et réussi à éviter toute contradiction. Mais les fractions ainsi introduites ne peuvent pas être considérées comme des nombres. Or l'utilité des fractions consiste précisément en ce que, dans les applications, on les considère comme des nombres, aussi bien que les entiers. Nous rejetterons donc cette théorie purement verbale et nous allons chercher une autre voie qui nous conduise à la notion de nombre fractionnaire. Cette voie, nous la trouverons en restreignant l'indétermination des objets sur lesquels s'exerce le calcul. Nous ne considérerons plus ces objets simplement comme étant distincts, mais nous leur attribuerons en outre des propriétés (trois d'abord et bientôt une quatrième) qui sont communes à toutes les grandeurs mesurables et qui pourraient appartenir aussi à d'autres objets logiques.

Première condition. — Ils seront équivalents ; c'est-à-dire qu'on pourra les substituer les uns aux autres en vue de certaines fins déterminées.

Deuxième condition. — En les groupant d'une certaine manière (et ce n'est pas à l'Analyse, mais aux diverses sciences spéciales, qu'il appartient d'indiquer en quoi consiste ce groupement), on forme un nouvel objet, qui est défini d'une manière suffisante et complète par le nombre de ses parties aliqùotes, c'est-à-dire parle nombre des objets équivalents qui le constituent.

Troisième condition. — Les objets (A), (A'), . . . obtenus en groupant /i, /i', ... objets (a) peuvent eux-mêmes être groupés entre eux suivant le même processus et l'objet qui résulte de leur réunion est identique à celui qu'on formerait en réunissant directement les objets (a) qui composent (A), (A'), .... En outre, l'opération du groupement est réversible, c'est-à-dire qu'il existe un moyen de défaire les groupes formés, de façon à retrouver sans gain ni perle les éléments (a) d'où Ton était parti.

(Il va sans dire que les objets dont il est question ici ne sont pas les êtres concrets que nous offre la nature, mais les objets que nous déduisons par abstraction de ces êtres, en les dépouillant de certains caractères dont la présence pourrait les empêcher d'être conformes à la définition qui résulte de nos hypothèses actuelles.)

Les hypothèses que nous venons d'énoncer ne surchargent l'idée de nombre d'aucune notion complémentaire; remarquons bien, en effet, qu'elles consistent purement et simplement à appliquer ridée de nombre à des objets d'une nature particulière. Elles nous permettent d'envisager le nombre d'un point de vue nouveau. Le nombre ne nous apparaît plus comme un total, mais comme un nom ou un numéro d^ ordre. Les opérations élémentaires de l'Arithmétique n'ont plus pour but de compter des objets qu'on a réunis ou séparés par diverses combinaisons; elles ont maintenant pour fin de créer de nouveaux objets par divers groupements d'objets donnés. Le nombre qui est le résultat de l'opération est précisément le nom ou le numéro de l'objet que cette opération a servi à créer.

Cette nouvelle manière d'envisager le nombre entier nous conduit directement à la notion de nombre fractionnaire ; voici comment. L'objet (A), formé par la réunion de n objets équivalents (a), peut être lui-même pris pour unité, c'est-à-dire appelé un. Chacun des objets (a) qui le composent sera dénommé

un n'^"* et représenté par ; l'objet formé par deux objets (a) sera

dénommé deux n*^™®* ou -, • • •; l'objet formé par p objets (a)

sera dénommé p n*^*"®* ou -• Les noms abstraits -, -, • • -, — qui

nomment ces objets sont appelés nombres fractionnaires ou fractions.

Deux fractions sont égales quand elles nomment deux groupes composés du même nombre d'objets équivalents.

Ces définitions suffisent pour démontrer la propriété fondamentale des fractions : Si une fraction - a ses termes équi-

multiples de ceux dUine autre fraction —,9 elle lui est égale.

En effet, supposons p égal à 9 fois/?', n égal à 9 fois ni. Groupons 9 à 9 les n objets (a); nous formons ainsi n' objets (a'), qui sont équivalents en vertu de nos hypothèses. Réunissons maintenant les n' objets (a') ; nous formons ainsi un objet qui, par hypothèse, est identique à l'objet (A) résultant de la réunion directe des n objets (a). Cet objet (A) est, nous l'avons dit, pris pour l'unité. Par conséquent, d'après nos définitions, chacun des objets (a')

doit être dénommé — > et l'objet formé par le groupement dé/?'

de ces derniers doit être appelé — , • Mais celui-ci comprend juste

autant d'objets (a) que l'objet dénommé — > savoir /?, puisque/?

est égal à/?' fois 9. Il lui est donc, par hypothèse, identique, ce

que nous exprimons en disant que les deux fractions - et —, sont

égales.

Nous ne définissons pas l'addition des objets vagues que nous considérons. Additionner deux fractions ce ne sera donc qu'ajouter, au sens que ce mot aura dans chaque cas particulier, les deux objets que nomment ces fractions. Mais les propriétés dont ils sont doués par nos hypothèses suffisent pour démontrer que,

additionner les deux objets - et — ,> c'est réaliser l'objet dont le

, pn' -h np'

nom est j-^ •

nn

De même, nous ne spécifions pas ce que c'est que fractionner l'objet unité; mais on saura, grâce à nos hypothèses, ce que c'est que prendre les | de l'objet f , quand on connaîtra le processus par lequel on forme l'objet y en partant de l'objet unité.

Ces indications, qu'il serait facile de développer, contiennent toute la théorie des fractions; de sorte que les trois hypothèses ci-dessus suffisent pour constituer cette partie de l'Analyse, qui est l'Arithmétique.

b INTRODUCTION.

Mais on prévoit, dès maintenant, une sérieuse difficulté. En partant d'objets déterminés, au nombre de /i, pour en constituer l'unité, nous ne pouvons concevoir et définir que les fractions dont le dénominateur est n ou un diviseur de n. On pourrait lever en partie cette difficulté si, au lieu de grouper les objets n. k n pour en former des unités nouvelles, on les réunissait 1 . 2 . 3 . . . /i à 1 . 2 . 3 . . . /i ; on obtiendrait ainsi toutes les fractions de dénominateurs inférieurs ou égaux à 1.2. . ./?. Mais les applications de l'Analyse aux phénomènes naturels exigent que l'on considère des fractions à dénominateur indéfiniment croissant. C'est en vain qu'on essaierait de tourner l'obstacle en prenant un nombre de plus en plus grand d'objets déterminés pour en constituer l'unité nouvelle; car, chaque fois qu'on augmenterait ce nombre, on changerait, par cela même, l'objet pris pour unité. Or, on s'aperçoit bien vite, en faisant des applications, que c'est précisément l'unité qui doit rester fixe dans tout le cours d'un calcul. C'est pourquoi nous allons imposer aux objets qui nous occuperont une dernière condition, qui, jointe aux trois autres, nous permettra de constituer l'Analyse proprement dite.

Quatrième condition. — Chaque objet peut être considéré comme un groupe formé d'un nombre illimité (c'est-à-dire arbitraire et aussi grand qu'on veut) d'autres objets équivalents entre eux.

Par là, notre conception première des fractions est un peu modifiée. Nous ne partons plus d'objets déterminés, indécomposables, pour composer, avec ces objets, l'objet unité. Nous suivons la marche inverse. Nous commençons par fixer l'unité et nous la décomposons en un nombre arbitraire de parties aliquotes, sans que jamais cette décomposition puisse, en vertu de la nature même des objets surlesquels nous opérons, être considérée comme ayant un terme nécessaire. Du reste, rien n'est changé par là aux propriétés des fractions.

Il peut arriver que les objets particuliers dont nous venons de compléter la définition soient susceptibles de recevoir deux destinations opposées et deux seulement. Il peut alors être commode, sans que cela soit indispensable, de conserver dans les transformations qu'on fait subir à ces objets la trace de cette

double destination. Or, comme ces objets sont, d'après nos hypothèses, parfaitement caractérisés par le nombre qui est attaché à chacun d'eux, les transformations dont il s'agit se traduiront par des opérations numériques; et nous donnerons aux résultats de ces opérations le signe -j- ou le signe — suivant qu'après sa transformation finale l'objet a conservé sa destination primitive ou a reçu la destination opposée. Par exemple, multiplier 5 par — 3 ce sera effectuer l'opération qui consiste à tripler l'objet qui contient 5 unités de son espèce et à donner à l'objet triplé une destination opposée à celle de l'objet primitif. On déduirait sans peine de ce que nous venons de dire les règles du calcul des nombres négatifs.

Nous sommes maintenant en possession de tous les éléments nécessaires pour constituer entièrement l'Arithmétique et l'Analyse, et nous n'y ajouterons plus rien. Ces deux sciences ne reposent donc, nous y insistons, que sur l'idée de nombre. Seulement cette idée n'y est plus appliquée à tous les objets dénombrables possibles; elle n'est appliquée qu'à certaines catégories d'objets dénombrables, définies par les quatre hypothèses qui précèdent. Nous avons appris du même coup à reconnaître à quelles sciences peut s'appliquer l'Analyse : ce sont celles qui étudient les objets assujettis à ces quatre conditions. L'Arithmétique fondée sur les considérations précédentes est, à certains égards, une science beaucoup plus restreinte que la Théorie des nombres entiers. Quant à l'Analyse, dont l'objet principal est l'étude des fonctions, que nous définirons bientôt, c'est un prolongement de l'Arithmétique, une Arithmétique généralisée par l'introduction de fractions à dénominateurs illimités, c'est-à-dire arbitraires et aussi grands qu'on veut.

En constituant l'Analyse tout entière avec la seule idée de nombre, nous en excluons deux idées qu'on est habitué à y voir intervenir, mais qui sont absolument distinctes de l'idée de nombre et qui, transportées de l'étude des grandeurs dans le domaine de l'Analyse, ont faussé l'esprit de cette science et l'ont

fait dévier, soit vers des développements relatifs à des grandeurs, soit vers des développements purement verbaux : ce sont les idées dî* infiniment petit et de limite.

D'après la définition que nous avons donnée des fractions, il est très facile de décider si une fraction est plus petite qu'une autre; mais on ne peut pas dire qu'il y ait des fractions infiniment petites ou tendant vers zéro, ni même qu'il y ait des fractions petites et voisines de zéro. En fait, il ne peut pas y avoir de fraction tendant vers zéro, car chaque fraction représente un objet, tandis que zéro est le signe de l'absence de lout objet. On ne peut pas dire non plus qu'aucune fraction soit voisine de zéro; car, du point de vue purement numérique où nous sommes placés, nous ne pourrions juger de Tinlervalle qui existe entre zéro et cette fraction que par le nombre de fractions susceptibles de s'y intercaler : or on peut y en intercaler autant qu'on veut. De là suit que cette expression une fraction aussi petite qu'on veut n'a aucun sens par elle-même. Néanmoins, nous pouvons lui en attribuer un, en l'employant pour désigner une fraction dont le numérateur ne dépasse pas un certain entier déterminé et dont le dénominateur est un nombre aussi grand qu'on veut. C'est là une pure définition de mots, qui ne préjuge nullement que l'objet représenté par la fraction en question occupe dans l'espace une petite étendue, vu que cet objet peut, en particulier, ne pas rentrer dans la catégorie de l'espace.

Quant à la notion même d^ infiniment petit, dont nous n'avons pas besoin pour constituer l'Analyse, nous la laisserons à la théorie des grandeurs : aussi bien, d'ailleurs, n'est-ellc pas autre chose qu'un des aspects de la notion de limite^ à laquelle nous arrivons maintenant.

Rappelons d'abord en quoi consiste le concept de limite. On imagine une suite indéfinie de grandeurs de même espèce (G), (G'), ... qui finissent par difi'érer de moins en moins les unes des autres, et l'on affirme l'existence d'une grandeur (F) de même espèce, unique et déterminée, dont (G), (G'), . . . s'approchent de plus en plus. C'est cette grandeur (T) qu'on appelle leur limite. Parfois l'existence de cette grandeur est démontrable; dans les cas où elle n'est pas démontrée, on l'admet. Il est à peine besoin de faire remarquer que, dans le dernier cas, cette

conception ne s'impose nullement à l'esprit et qu'on est en droit de se refuser à l'admeltre. Car, concevoir un objet matériel, c'est ou bien se le représenter directement, ce qui est évidemment impossible dans le cas actuel, nos représentations de grandeurs de plus en plus voisines finissant par se confondre ; ou bien se figurer une suite d'opérations permettant de réaliser cet objet, qu'on pourra, dès lors, imaginer nettement; or, il n'est pas possible de se figurer, comme il le faudrait ici par hypothèse même, des opérations qui se renouvellent indéfiniment sans avoir jamais de terme. Quelque opinion que Ton ait d'ailleurs sur la valeur objective de ce concept, on est forcé de reconnaître qu'il est absolument sans rapport avec l'idée de dénombrement. Cela seul suffirait à motiver son exclusion; mais il y a plus. Dès les commencements de l'Analyse, on voit se manifester un profond désaccord entre l'idée de nombre et celle de grandeur-limite. Tandis qu'on peut, en effet, sans contradiction logique, admettre que toute suite de grandeurs dont les différences mutuelles vont en s'évanouissant tend nécessairement vers une grandeur limite, on démontre, en toute rigueur, que des nombres formant une suite indéfinie peuvent différer insensiblement les uns des autres sans toutefois tendre vers aucun nombre énonçable. C'est là une seconde raison pour nous d'écarter la notion de limite, en ce qu'elle a de postulatif, puisque nous voulons constituer un corps de doctrine, un dans son principe, sans mélange d'éléments hétérogènes. Nous n'emploierons le mot limite que pour désigner, quand il existe, le nombre dont s'approchent de plus en plus les termes d'une suite convergente (*).

Il n'y a pas autre chose au fond que l'idée de limite dans la notion générale des grandeurs incommensurables avec l'unité, notion d'origine exclusivement géométrique, que nous allons discuter. Sans doute, la plus anciennement connue des grandeurs dites incommensurables y celle qui a donné lieu à la conception de toutes les autres, la diagonale du carré construit sur l'unité de

(•) Nous remploierons aussi, mais dans d'autres se/w,, pour désigner soit des nombres dont l'existence aura été démontrée et qui seront ou supérieurs ou inférieurs à certains autres (limite supérieure, limite inférieure)^ soit certains nombres donnés pour définir un intervalle, par exemple un champ d'intégration.

longueur, ne se présente pas comme une grandeur limite. Mais l'immense majorité de celles qu'on a considérées depuis (telle, par exemple, la longueur de la circonférence de rayon un) n'ont pu être conçues que comme des grandeurs limites; et, à ce titre, leur existence est un pur postulat, qu'il nous est loisible de rejeter. Quant à celles qui, plus analogues à la diagonale du carré, ne se présentent pas comme des grandeurs limites, mais s'offrent d'emblée, toutes faites, rien ne nous oblige à les déclarer incommensurables avec l'unité. Pour s'en convaincre, il suffit de se rappeler combien sont nombreux les postulats qui servent de fondements à la Géométrie, et dont deux particulièrement, celui d'Euclide sur les parallèles et celui de Thaïes sur les lignes proportionnelles, jouent un rôle capital dans la mesure des longueurs. C'est donc un postulat qu'on énonce, quand on affirme l'existence de grandeurs incommensurables.

Une fois cette notion admise et consacrée par une longue tradition, au lieu d'avouer avec les géomètres anciens qu'il est impossible de maintenir un parallélisme rigoureux entre la théorie des nombres et celle des grandeurs, et d'accepter cette opposition comme inévitable et inhérente à la nature des choses, on a essayé de l'atténuer autant que possible, ou même de la supprimer complètement; en quoi faisant, on a introduit dans la science du nombre des éléments étrangers au nombre et confondu le nombre avec la grandeur. Car, de l'aveu même des auteurs qui font de la théorie des prétendus nombres irrationnels le fondement de l'Analyse, il n'y a point de nombres qu'on puisse appeler ainsi; et quand, pour donner un point de départ à cette théorie, on dit que certaines opérations définissent un nombre irrationnel, on n'exprime rien. On commet seulement une impropriété de langage, par oubli de la signification du mot définir. Dans les sciences de construction, définir un objet, c'est donner le moyen de le concevoir. Or, on aura beau retourner la prétendue définition ci-dessus, elle ne répondra jamais à cette question : Qu'est-ce qu'un nombre irrationnel? Ainsi la théorie dont nous parlons est sans objet, en tant que théorie numérique.

De quoi traite-t-elle donc en fait? Quand on expose ses commencements, on traite inconsciemment, mais exclusivement, des grandeurs : les symboles auxquels on croit faire désigner dés nombres

représentent en réalité des grandeurs, les unes mesurées, celles dont les symboles figurent dans les suites convergentes; les autres incommensurables avec l'unité, celles que masquent les mots nombre irrationnel. Passé l'addition, où les symboles employés ne représentent plus même des grandeurs mesurables quelconques, mais seulement des longueurs rectilignes, la théorie ne répond à rien : elle n'est plus qu'un pur exercice de raisonnement, exécuté sur des définitions de mots, une succession de phrases dont aucune ne contredit une proposition antérieure.

Pour donner à ses déductions une valeur autre qu'une valeur formelle, au sens logique du mot, il faudrait les appliquer résolument aux grandeurs, ne plus vouloir que toute lettre soit le substitut d'un nombre, mais en faire le symbole d'une grandeur. Si l'on parvenait à donner, pour les opérations à effectuer sur les grandeurs considérées, des définitions qui fussent représentables à l'imagination, on pourrait ainsi constituer une science qualitative de ces grandeurs, n\ais on renoncerait à les évaluer numériquement, à les mesurer, ce qui est le but que nous assignons à l' Analyse.

Le lecteur sait maintenant pourquoi nous ne parlerons plus désormais des nombres irrationnels. Il est à peine besoin d'expliquer que cette exclusion n'empêchera nullement notre Analyse de représenter les grandeurs dépendantes, quand les grandeurs variables passent par les états où elles sont incommensurables avec l'unité. Bien que rien n'oblige, nous l'avons vu plus haut, à admettre l'existence de pareils états de grandeurs, accordons-la néanmoins; il n'y a aucune difficulté, si les états qui correspondent, pour les grandeurs dépendantes, aux états d'incommensurabilité des grandeurs variables ne présentent pas de discontinuité avec les étals adjacents. Si, pour un état d'incommensurabilité de la grandeur variable, on suppose qu'il y ait saut brusque de la grandeur dépendante, cette discontinuité ne sera pas observable, l'intervalle où elle se produit tombant, par définition même, audessous de toutes les limites de nos perceptions.

Mais, si nous déaonçons hautement la confusion traditionnelle entre les nombres et les grandeurs, qui est le vice de la Mathématique moderne, nous n'en serons que plus attentifs à deux faits d'expérience capitaux, dans lesquels nous retrouverons d'ailleurs Torigine des deux notions que nous venons d'écarter, et qui indiquent comment il faut constituer l'Analyse, si l'on veut en faire, au lieu d'un jeu stérile de l'esprit, un instrument propre à la mesure des grandeurs.

Lorsqu'on décompose une grandeur concrète en parties aliquotes, il arrive un moment, lorsque ces parties sont en nombre suffisant, où chacune d'elles est imperceptible; elle est comme nulle pour nos sens. A chaque sensation correspond ainsi, dans des conditions données, un minimum perceptible. C'est en élaborant cette donnée expérimentale du minimum perceptible que l'on est arrivé à la conception d'infiniment petit, que nous avons précédemment écartée comme inutile à notre objet. Aussi bien n'insisterons-nous pas sur ce point, dont l'éclaircissement n'est nullement nécessaire à la constitution de l'Analyse pure.

Voici maintenant le second fait, aussi anciennement acquis que le premier, mais plus récemment analysé. Lorsque nous comparons deux grandeurs de même espèce (G) et (G'), dont l'une est fixe, si nous faisons varier progressivement (G'), de manière qu'elle diffère de moins en moins de (G), il arrive un moment où ces deux grandeurs ne se distinguent plus l'une de l'autre, au témoignage de nos sens. Mais, qu'on change les conditions de l'expérience, qu'on recoure à des procédés de comparaison plus délicats, on reconnaîtra qu'en général (G') n'est pas devenue égale à (G). Pour que la différence entre (G') et (G) soit perceptible, il faut que cette différence a dépasse une certaine fraction de la grandeur (G). On pourrait être tenté de croire que cette moindre différence appréciable (*) est égale au minimum perceptible; mais l'expérience a montré qu'elle n'est pas constante :

( ^ ) Le terme fraction différentielle est celui qui conviendrait le mieux ici ; mais les psychophysiciens le définissent un peu autrement.

INTRODUCTION. l3

8 dépend de (G) et varie suivant une loi qui change avec la nature de (G); elle ne sera pas la même, par exemple, si (G) est un poids que si (G) est une durée ou une intensité lumineuse. Quoi qu'il en soit, c'est de cette notion expérimentale de la moindre différence appréciable, confusément aperçue de tout temps, que dérive l'idée de limite.

La connaissance des deux faits que nous venons de rappeler nous permettra, chaque fois que nous serons en présence d'un problème imposé au mathématicien par l'étude des phénomènes naturels, de le formuler en des termes qui en rendront la solution possible. Nous ne citerons, pour donner une idée de notre méthode, qu'une question, absolument fondamentale dans les applications de l'Analyse :

Trouver un nombre x tel que, si on le connaissait et si Von faisait sur lui une série d'opérations arithmétiques dont f{x) désignera le résultat, f{x)fut égal à zéro.

C'est là ce qu'on appelle résoudre V équation /(x) = o. Or il est très rare que ce problème soit possible : il n'existe généralement pas de nombre répondant à la question proposée. Par contre, il arrive très fréquemment qu'on peut résoudre la suivante :

Trouver une suite indéfinie de nombres x^, X2j x^^ ... différant entre eux de fractions qui finissent par être aussi petites qu'on veut, tels de plus que les nombres f{x^), f(x2), ... forment une suite dont tous les termes soient inférieurs en valeur absolue à des fractions qui finissent par être aussi petites qu'on veut.

Au point de vue du nombre pur, ce problème n'a aucun rapport avec le premier; mais il en est tout autrement dans les applications, quand x est, par exemple, la mesure d'une grandeur (G) et f{x) la mesure d'une autre grandeur (r). Nous répondons d'une manière pratique à la question proposée tout d'abord, si nous prenons, au lieu du nombre x impossible à trouver, l'un quelconque des nombres x^ , 0:2,* . . . jouissant à la fois des deux propriétés suivantes : i** leurs différences mutuelles sont inférieures à la plus petite valeur que le moindre écart appréciable, relatif à la grandeur (G), acquière dans un intervalle comprenant tous les nombres ;r«, x^i . • •; 2** les nombres correspondants

l4 INTRODUCTION.

/{^i), /{^2)t ' ' • sont inférieurs au minimum perceptible pour la grandeur (F). Cette solution répond d'ailleurs à toules les exigences des applications possibles, puisque nous laissons indéterminées les plus petites valeurs des moindres différences appréciables et des minimums perceptibles, comme dépendant non seulement de nos sens, mais de la portée ou de la délicatesse de nos instruments de mesure, dont la perfectibilité ne peut pas être limitée à l'avance (*).

(*) Le problème de la mesure des grandeurs conduit à considérer des suites de nombres dont les différences mutuelles sont exprimées par ce que nous avons appelé des fractions aussi petites qu'on veut. En effet, quand on sait définir l'égalité et la somme de deux grandeurs d'une certaine espèce, mesurer une grandeur de cette espèce, c'est chercher si elle est égale à la somme de plusieurs grandeurs de son espèce, égales elles-mêmes à l'unité ou à une partie aliquote de l'unité. Pour appliquer cette définition, on compare la grandeur considérée à la somme d'un certain nombre d'unités et de parties aliquotes de l'unité, qu'on prend de plus en plus petites, jusqu'à ce qu'on ne puisse plus distinguer leur somme de la grandeur à mesurer. La mise en œuvre de ce procédé, si on la conçoit comme prolongée autant qu'on le voudra, fournit précisément ces suites de nombres que nous étudierons sous le nom de suites convergentes et dont les différences mutuelles sont exprimées par des fractions qui deviennent aussi petites qu'on veut.

C'est sur l'emploi systématique des suites convergentes que nous fonderons toute l'Analyse, parce que nous assignons pour but à l'Analyse la détermination des grandeurs avec une approximation indéfinie. Or nous venons de voir que la mesure directe d'une grandeur, ainsi entendue, conduit à une suite convergente. Mais la correspondance est réciproque, et c'est là ce qui explique l'importance des suites convergentes dans notre théorie : Toute suite convergente de nombres a,, a^^, . . ., a„, . . . définit une grandeur parfaitement déterminée et une seule. Nous rappellerons brièvement la démonstration de ce fait capital, en raisonnant sur une longueur rectiligne. Sur une droite indéfinie OX on porte, à partir du point fixe O, les longueurs OA^, OAj, ... mesurées par les nombres

Oj, aj, On peut choisir n assez grand pour que toutes les longueurs OA^^^,

■0A„^2» ••• diffèrent entre elles de moins d'une longueur donnée 8. A partir de cette valeur de /i, toutes les extrémités A„^,, A^^ji • • • sont comprises dans un segment de longueur 6. On peut ensuite prendre p assez grand pour que toutes les extrémités A„^, A^^^^,, ... tombent dans un segment de longueur moitié moindre, compris dans le précédent. En continuant ainsi, on renferme toutes les extrémités des longueurs 0A„^^ dans des intervalles, tous emboîtés les uns dans les autres, et qu'on peut rendre gussi petits qu'on veut, puisque chacun d'eux est au plus égal à la moitié du précédent. Ces intervalles évanouissants comprennent au moins un point fixe de la droite OX, et ils n*en comprennent qu'un; cdLTy s'ils en comprenaient deux, A et B, aucun de ces intervalles ne pourrait devenir moindre que la distance AB, contrairement à ce que nous venons de prouver. Donc il existe une longueur OA et une seule que les nombres ûp ^21 --"i ^ni "• mesurent avec une approximation indéfinie.

INTRODUCTION. l5

Les questions que nous aurons à traiter seront toutes plus ou moins analogues à celle qui précède. Elles seront presque toujours insolubles dans les termes mêmes où elles seront posées. Il faudra en transformer l'énoncé dans le sens où nous venons de le faire. Cependant nous continuerons à les traduire en termes algébriques sous la forme même où elles se présentent en premier lieu. La langue de TAlgèbre sera donc, et cela de par notre volonté, un mode d'expression foncièrement inexact, qu'il faudra sans cesse interpréter pour rétablir sa signification véritable. Ainsi toute équation f{x) = o devra être traduite par l'inégalité |/(^) | <C e î et nous nous appliquerons à résoudre ces inégalités avec le plus grand soin, loin de nous contenter des aperçus vagues par lesquels on prétend parfois encore établir la possibilité d'une solution, au mépris de ce principe de logique : dans les sciences de construction, démontrer qu'une chose est possible, c'est donner le moyen de la réaliser.

D'ailleurs, en ne nous laissant pas abuser par les signes conventionnels de l'Algèbre et en nous refusant à jamais perdre de vue le nombre, nous ne faisons qu'ériger en principe les règles auxquelles les mathématiciens se conforment quand ils sortent du domaine de la théorie : tous en effet s'accordent, quand ils en viennent au calcul numérique, pour traiter les problèmes comme nous les posons. Ne vaut-il pas mieux être conséquent avec soimême et ne point inscrire dans la théorie certains principes, pour en invoquer d'autres dans les applications ?

En développant les conséquences de la notion de nombre, sans jamais y mêler aucun élément étranger, nous arriverons à certaines propositions qui seront en contradiction avec des énoncés devenus classiques. Ces désaccords, hâtons-nous de le dire, sont sans conséquence pour les applications, car ils ne portent que sur des cas purement théoriques ; ils n'ont rien d'ailleurs qui doive surprendre, et leur origine sera toujours la même. On s'autorise en effet, plus ou moins consciemment, de la considération des prétendus nombres irrationnels, pour attribuer aux fonctions cer-

l6 INTRODUCTION.

taines propriétés que les grandeurs abstraites possèdent, d'après la conception qu^on en a admise et que nous avons discutée : c'est ce qu'on fait, par exemple, quand on parle d'une fonction qui serait nulle pour toute valeur entière ou fractionnaire de la variable x^ et égale à l'unité pour toutes les valeurs irrationnelles de x; à moins que l'on n'objective une pure entité, après l'avoir soi-même reconnue comme telle. Dans notre Analyse, au contraire, les fonctions ne sont définies, à parler un instant le langage classique, que pour les valeurs ratioimelles de la variable. Tout est là, et l'on ne peut demander à la Mathématique rigoureuse, ainsi constituée, que ce qu'elle peut logiquement produire.

Nous avons vu que la conception de la limite d'une suite de grandeurs différant de moins en moins les unes des autres n'est pas du domaine de l'Analyse. Mais cette idée suggère la considération de certaines suites indéfinies de nombres, que nous allons étudier sous le nom de suites convergentes, parce que toute la théorie des fonctions repose sur leurs propriétés.

l. — Premières propriétés des suites convergentes.

1. Définitions, — Considérons une suite indéfinie de nombres, entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs,

Ml, M2, M3, ..., Un, ...,

dont chacun peut être calculé quand on connaît son rang. Ces nombres sont appelés les termes de la suite.

On dit qu'une pareille suite est convergente si ses termes finissent par différer de moins en moins les uns des autres; ou, pour préciser, une suite est convergente si, étant donnée une fraction positive e, aussi petite qu'on veut (*), il existe un entier ai, tel que le terme de rang n diffère de tous ceux qui le suivent d* une fraction moindre en valeur absolue que e.

On peut dire aussi qu'w/ie suite est convergente^ si deux quelconques de ses termes, à partir d'un certain rang, diffèrent V un de Vautre d^une fraction aussi petite qu'on veut en valeur absolue.

Ces deux définitions étant visiblement équivalentes, on pourra indifféremment recourir à l'une ou à l'autre .

(*) Nous appelons fraction aussi petite qu'on veut une fraction dont le numérateur ne dépasse pas un nombre fixe et dont le numérateur est aussi grand qu'on veut.

Un exemple simple de suile convergenle est fourni par la progression géométrique décroissante

Les sommes de ses premiers termes,

S« = I -h ûT -h ûr2 -f- . . . -f- ûr«-î = i

forment une suite convergente. Car la différence

est, pour n suffisamment grand, moindre que toute fraction î aussi petite qu'on veut.

Il y a plus : la différence entre le nombre et le terme S,/,

qui est précisément égale à — — y jouit de la même propriété.

Ainsi les termes de la suite considérée finissent par diflerer de moins en moins de ce nombre. Nous ne tarderons pas à revenir sur ce fait important.

2. Il faut, au préalable, se rendre bien compte de la nature des termes d'une suite convergente.

Théorème. — Les ternies d^une suite convergente finissent par être tous de même signe, à moins qu^ils ne tendent vers zéro .

En effet, si, quel que soit n^ il existe toujours, dans la suite deux termes de signes contraires Un et Un+p^ comme la convergence entraîne

I Un^p—Un\ <£,

les deux termes Un^p et u,i sonl, en valeur absolue, moindres que £. On trouvera donc indéfiniment, dans la suite, des termes qui différeront aussi peu qu'on voudra de zéro, et comme la suite est supposée convergente, tous ses termes jouiront de la même propriété. C'est ce qu'on exprime en disant qu'ils tendent vers zéro.

Théorème. — Les termes cVune suite convergente sont des fractions dont les dénominateurs finissent par dépasser tout entier donné, même quand elles sont réduites à leur plus simple expression. Il n^y a exception que si la suite présente indéfiniment des termes égaux à une fraction déterminée.

Étant donné Tenlier M, si grand qu'il soit, je dis qu'à partir d'un rang assignable tous les termes (sous la réserve énoncée) ont

leurs dénominateurs plus grands que M. Soit en effet ^ un terme

de la suite tel que tous ceux qui le suivent diffèrent entre eux de

moins de ^r^rj et soient -tj t, deux de ces termes. On a M2 b h'

\a a' \ I ab' — ha' \ 1

\b b'\ bb' ^ m

Comme aU — ba' est un entier, cette inégalité entraîne bb'^ M^, dès que les deux fractions sont supposées inégales. Donc l'un au moins des dénominateurs b et 6' est supérieur à M.

Si 6 et tous les dénominateurs suivants sont plus grands que M, la proposition est démontrée. Si l'un des dénominateurs b et b' est moindre que M, soit par exemple 6 < M, tous les termes de la suite qui viennent après a : b ont leur dénominateur plus grand que M, sauf ceux qui se trouveraient être précisément égaux à a l b.

Si ces termes égaux k a l b sont en nombre limité, tous les termes qui viennent après le dernier d'entre eux auront leur dénominateur plus grand que M. Il peut arriver qu'après tout terme de la suite, si élevé que soit son rang, il s'en trouve toujours d'autres égaux k a l b. Alors les autres termes finiront par différer aussi peu qu'on voudra de cette fraction et leurs dénominateurs seront plus grands que M.

Soit, pour exemple, la suite S^, So, . . . , S« déduite d'une progression géométrique ayant pour raison l'inverse d'un nombre premier

On voit que S,i est une fraction irréductible, et que ses deux termes sont très grands avec n.