Fonctions rectifiables, — Étant donnée une fonction

continue dans l'intervalle (^o> X), on divise cet intervalle en n autres, au moyen des nombres croissants x<ij ..., Xn^\ et l'on forme la somme

On dit que la fonction /(^) est rectifiable dans l'intervalle (jcoî X) si, lorsqu'on multiplie le nombre des intervalles et qu'on diminue indéfiniment leur amplitude, toutes les sommes P« finissent par différer aussi peu qu'on veut les unes des autres, quelle que soit la loi de fractionnement. Avant de chercher à quelles conditions une fonction est rectifiable, nous établirons une proposition, qui est fondamentale dans la théorie des fonctions rectifiables.

Théorème. — Si pour un mode déterminé de subdivision de ^intervalle {xq^ X), mode dans lequel on conserve toujours les extrémités des intervalles déjà employés, la somme P^ ne croît pas indéfiniment, il en est de même pour tout autre mode de subdivision; les deux sommes obtenues dans deux modes de subdivision quelconques finissent par différer aussi peu qiCon veut.

En effet, dans le mode de subdivision donné, il est manifeste que les sommes

(i3) P„, ..., Pv, ...

vont toujours en croissant, ou du moins ne décroissent jamais, et comme, par hypothèse, elles ne croissent pas indéfiniment, elles forment une suite convergente.

Envisageons maintenant un autre mode de subdivision donnant lieu à la suite

(i4) P'/is ..., pV, ....

70 CHAPITRE m.

Il faut démontrer que l'une quelconque de ces dernières sommes, P^» par exemple, ne dépasse pas un nombre qu'on peut calculer. Considérons dans la suite (i 3) un indice v assez grand pour que le plus grand, e, des intervalles qui entrent dans la composition de la somme Pv soit inférieur au plus petit, e', des intervalles relatifs à la somme P^.. Rappelons-nous que n' est un indice fixe dans tout le raisonnement qui va suivre. Du choix de v résulte que tous les intervalles de Pv, ou bien sont compris dans ceux de P^., ou bien chevauchent sur deux seulement de ces derniers. Ceux qui sont dans ce cas sont au plus au nombre de n! , Considérons l'un quelconque d'entre eux et appelons-le (Ç, Ç'). Les deux nombres Ç, Ç' comprennent entre eux un et un seul nombre x\ ajant servi à former la Somme P^». A rinlervalle (Ç, Ç') correspond dans la somme Pv le terme

et il est facile de voir que y est plus petit que

8 = v/(^',-o^H-(7;.-^j^-+-v/(r-^;)^-+-(v-yr)^.

(L'inégalité y <[ 3 est celle qui exprime qu'un côté d'un triangle est moindre que la somme des deux autres.)

Formons une somme auxiliaire II où sont conservés les termes de Pv correspondant à des intervalles non empiétants et où les termes y relatifs-à des intervalles empiétants sont remplacés parles 8 correspondants. Si nous comparons P^. à II, nous voyons que les intervalles de II sont tous contenus dans les intervalles de P)^.. Par conséquent

Or, à son tour. Il surpassé Pv de moins de S S, les termes de cette dernière somme étant au plus au nombre de v! . Nous avons dit que l'intervalle Ç' — \ était au plus égal à e. L'oscillation de la fonction dans cet intervalle est plus petite qu'un nombre to, aussi petit qu'on veut, lorsque l'intervalle est suffisamment petit et l'on a

c'est-à-dire

F05CTI0!IS 1:VTÉGRA1LES. 7I

En conséquence, il vient

n<Pv-r-/l(tf -f-2Ci))

et finalement

P«< PvH- n\e -T- 2fa>).

Or, la suite (i 3) étant convergente, le terme P„ diffère de tous les termes Py qui le suivent de moins d'une fraction s, connue dès que l'on connaît /i. On peut donc écrire

Or /i' est fixe (ainsi que /i), tandis que nous pouvons prendre v aussi grand que nous voulons et, par suite, e et co plus petits que toute fraction donnée. Si donc nous appelons e' un nombre tant soit peu supérieur à s, nous avons

De là on conclut que V„. est inférieur à un nombre qu'on peut

lassigner et que, en conséquence, la suite (14) est convergente.

D'autre part, P'„. diffère de tous les termes qui viennent après lui

dans sa suite de moins de e^; et si nous appelons t\ un nombre

tant soit peu supérieur à ei^ nous avons, pour les mêmes raisons

que tout à l'heure,

Finalement, si e'^ est le plus grand des nombres e' et t\ , on a

|Pn-P'«'|<eo.

Ceci prouve la proposition énoncée et en même temps conduit à un résultat numérique bien net.

a. Théorème. — Pour qu'une fonction continue soit rectifiable dans un intervalle, il faut et il suffit que son oscillation totale dans l'intervalle considéré soit limitée.

Montrons d'abord que la condition est nécessaire. On a visiblement

P«>2|riH.i— rr|.

Or, P;i est inférieur à un certain nombre A ; on a donc a fortiori

(Jn=^\yM-l—yr\<^'