CHAPITRE III. — FONCTIONS INTÉ6RÀBLES

"Je dis qu'en vertu de cette inégalité l'oscillation totale est limitée. En effet, dans l'intervalle (^^ ^r+i)» on peut trouver deux nombres Ç^j Sr» auxquels correspondent, pour la fonction continue y = f[x)^ deux valeurs, dont l'une, v^^, diffère de moins de s : a de la limite supérieure de f{x) dans l'intervalle considéré, et dont l'autre, yj^, diffère de moins de e : 2 de la limite inférieure. Par suite, | r\r — tj^I diffère de moins de s de l'oscillation w^ de/{x) dans ce même intervalle, et l'on peut écrire

I Tir— V); I = 0);.— e^-e (- 1 < Or<

Ainsi la somme des oscillations w^ est représentée par

(Oo-h wi-h. . .H- tOrt i = I -rio—'no I -H I TT)!— 7); I -h. . .+ eSe^.

Le coefficient de s est au plus égal à n, et /i étant fixé, on peut, d'après la définition du nombre s, prendre ce nombre assez petit pour que ne soit aussi petit qu'on veut. Pour établir que l'oscillation totale de /(^) est limitée, il suffit donc de prouver qu'il en est ainsi de la somme

Or celle-ci est évidemment une somme o-«, diminuée par la suppression de ses termes de rang impair. La condition énoncée est donc nécessaire.

Je dis qu'elle est suffisante, c'est-à-dire que, si la fonction /(^) a son oscillation totale limitée, elle est rectifiable. En effet, on a

Prt < S I Xr+i—Xr I -H 2 |^r+l— ^Z" I»

et, à plus forte raison (n° 11),

P«<|X — a7o|-hl:to,..

0r, Swr étant inférieur à un certain nombre A, la somme P/i est inférieure à un nombre déterminé.

FONCTIONS inverses; exponentielle et logarithme.

Nous traitons dans ce Chapitre le second grand problème de la théorie des fonctions, qui conduit à la notion de fonctions in\?erses, et nous exposons la théorie des deux fonctions inverses (exponentielle et logarithme) qui sont à la fois les plus simples et les plus importantes de toutes celles qui interviennent dans r Analyse.