II. — Existence des racines

2. Théorème. — Si une fonction f{x) est continue dans l'intervalle (a, b) et si A désigne un nombre quelconque, compris entre f{a) et f{b), l'équation

f{x) = A admet au moins une racine dans l'intervalle {a^ b).

Partageons Tintervalle (a, 6) en deux autres égaux (a, c), (c, b). Si la suite /(c) tend vers A, c est racine. Sinon, des trois nombres a, c, 6, deux au moins, que nous appellerons «i , 6| , sont tels qu'on a

/(aO<A</(60.

Divisons l'intervalle («i, è^) en deux autres égaux (a^, Ci), (Ci, bi) et appelons («2» 62) l'un d'eux, tel que A soit intermédiaire entre f{a2) et f{b2)\ nous le diviserons encore en deux parties égales. Continuant ainsi, ou nous rencontrerons un nombre bi tel que la suite/(6|) ait pour limite A, ce qui prouve le théorème, ou nous déterminons une série d'intervalles dont chacun est compris dans le précédent et égal à sa moitié et qui, par suite, tendent vers zéro. La suite a^^ a2, ..., composée de nombres non décroissants et tous moindres que 6, est convergente. La suite 6|, 625 •••) 6«) • •• est équivalente à la suite a^

«2î • • •) ciny • • •? parce que la différence

a pour limite zéro.

Soient maintenant des nombres

a?!, a:*2, . . ., Xn^ • • •,

pris arbitrairement, le premier entre a^ et 64, le second entre a^ et èaj • • • ; ils forment une suite qui répond à la question. Elle est convergente, en effet, puisque ses termes Xn sont compris entre les termes de même rang, an et 6^, de deux suites équivalentes. De plus, les nombres

tendent vers A, à cause de la continuité de /(a:). En effet, quand la différence &« — a^ qui tend vers zéro, est suffisamment petite, f{ccn) diffère aussi peu qu'on veut de /(an) et de /(bn)^ et conséquemment de A, intermédiaire entre/(a;i) et/(6„).

Prouvons maintenant que la suite (i) peut être remplacée par toute suite équivalente

c'est-à-dire que la suite f{x\), /(x^), •••)/(^«)> ••• converge aussi vers A. S'il n'en était pas ainsi, en effet, la différence

serait, à partir d'une certaine valeur de n, supérieure à un nombre e que l'on pourrait calculer; mais, comme /(j;) est continue, il en résulterait que la différence x]^ — Xn serait supérieure à un certain nombre qu'on pourrait déterminer; c'est-à-dire que les deux suites Xn et x'^ ne seraient pas équivalentes.

Remarque, — Le second grand problème que nous nous sommes posé à propos des fonctions est loin d'être complètement résolu par ce qui précède, même pour les fonctions continues. Car, parmi toutes les suites distinctes (c'est-à-dire non équivalentes), qui font acquérir à la fonction une valeur donnée, notre méthode ne nous en a donné qu^une, et son application répétée à

des modes de subdivision variés de l'intervalle («, 6) ne fera pas connaître avec certitude toutes les suites qui répondent à la question. Il y a cependant un cas très particulier où cette méthode fournit la solution complète du problème : c'est celui où la fonction continue f{x) est en même temps croissante (ou décroissante) dans l'intervalle (a, 6), ou, ce qui revient au même, le cas où l'intervalle (a, b) peut être divisé en un certain nombre d'autres dans chacun desquels la fonction jouit de cette propriété.

3. Théorème. — Si une fonction f{x) est continue et croissante (pu décroissante) dans lHntervalle{aj 6), et si K désigne un nombre quelconque, compris entre f{a) et f[b)^ V équation

admet une racine, et une seule, comprise entre a et b.

Nous venons de voir qu'il en existe toujours une, définie par la suite convergente x^^ x^^ . . ., a?,,, . . ., équivalente d'après sa formation même aux deux suites an et bn-

Supposons qu'il existe dans l'intervalle (a, b) une suite

a?!, a7j, . . . , 07^, . . ., non équivalente à celle-là et telle que les nombres

tendent vers A. Ses termes sont tous, à partir d'un certain rang, supérieurs (ou inférieurs) à ceux de la première (Chap. I, n° 9), et, par conséquent, à ceux de la suite équivalente 6|, 62? • • •> 6,1, Comme /(^) est supposée croissante dans tout l'intervalle (a, 6), on a

D'après cela, il est impo>ssible que la suite f{x\)^f(x\)^ . .. présente indéfiniment des termes inférieurs à sa limite A. Car, x\^^ étant l'un d'eux, on aurait

ce qui n'est pas, puisque bn est moindre que x'^ et que f{x) est croissante.

Il faut donc que la suite considérée ait tous ses termes plus grands que A, à partir d'un certain rang n.' Comme ils tendent vers A, on peut choisir p tel que la différence /(a:' ) — A soit moindre que la différence /{b„) — A. On aurait donc

ce qui est impossible, bn étant inférieur à x'^^^.

4. Nous rapprocherons du théorème précédent une propriété fondamentale des polynômes entiers

Théorème. — Un polynôme entier de degré m n'admet pas plus de m racines.

Considérons le polynôme

f(x) = Aoa?'«-+- Aia?'»-»H-...-H km-iix:-\- A,„.

Je dis qu'il n'existe pas plus de m suites convergentes

iP/,1, ^/,i> --M ^t,/i, ••. (i = 1, 2, ..., /w)

non équivalentes deux à deux et telles que les suites correspondantes

aient pour limite commune zéro. Supposons, en effet, qu'il y ait m 4- 1 suites pareilles. On peut, s'étant donné une fraction positive e aussi petite qu'on veut, prendre dans chacune de ces suites un terme de rang suffisamment élevé, Xi dans la première, ^. ., Xr dans la r'ème^ ^ de telle sorte que les m -4- i nombres

soient en valeur absolue moindres que e. On aura donc, en désignant par la lettre des facteurs compris entre — i et -H i , les m 4- I relations suivantes

Aot"!^-^ XiX^" H-. ..-+• A,ro-ia7r-H A,»= 6,.e (r = i, 2, ..., /n-Hi),

qu'on peut résoudre par rapport aux m + i coefficients Ao, . . .,

Am. Chacun d'eux s'exprime par une fraction dont le numérateur contient e en facteur et dont le dénominateur est un déterminant bien connu, égal au produit de toutes les différences Xp — Xr* Or, les suites d'où proviennent Xp et Xr n'étant pas équivalentes, toutes les différences Xp — Xr sont supérieures à un certain nombre qu'on peut assigner. Donc, les coefficients Ao, ..,, A^ du poljnome sont inférieurs à tout nombre, si petit qu'il soit. Ils sont donc tous nuls, si le polynôme admet plus de m racines.

III. — Fonction inverse d'une fonction continue et croissante.

5. Du théorème important que nous venons d'établir (n° 3) résulte l'existence de la fonction inverse d'une fonction /(^) continue et croissante {ou décroissante) dans un intervalle (a, b). Posons, en effet.

Nous savons que, si l'on donne un nombre quelconque y, compris entre yo ^t JKi» il existe une suite convergente ^i, X2^ . . ., Xfi^ ... de nombres compris entre a et 6, et tels que la s\xïxef{x^)^ f{x2), ...,/(^rt), ... a pour limite y. De plus, toute suite équivalente à Xi^ x^t ... jouit de la même propriété, parce que/(^) est continue (Ghap. III, n° 6) et toute suite qui jouit de la même propriété est équivalente à x^^ x^-, . . ., ^w, ..., parce que/(^) est croissante. Donc cette suite x^^ ^2» .•• ^w» ••• remplit les conditions requises pour définir une fonction cp (y). C'est cette fonction <p(y) que nous appellerons \^ fonction inverse de f{x).

Théorème. — La fonction inverse d^ une fonction continue et croissante dans un intervalle est elle-même continue et croissante dans V intervalle correspondant.

Si fp(jK) n'est pas continue dans Tintervalle (jKoî^i)? on peut y trouver deux nombres y^y aussi voisins qu'on veut et tels qu'on ait

a étant un nombre assignable. Comme f{x) est croissante, f{x'^) par exemple surpasse f{xn) d'un certain nombre 3 A. Or f{xn)

teDdant versj^ eif{x'^) vers y'^ on a

les fractions e,i et e^ devenant, quand n augmente, aussi petites qu'on veut, tomberont au-dessous de h. Dès lors, on aura

i/-ri>i/(^«)-/(^n)i-h;i-ie«i>^,

contrairement à l'hypothèse d'après laquelle y^ et y sont aussi voisins qu'on veut.

Je dis que 'f (y) est croissante dans l'intervalle (yoj JK*)- Soient en effet ^ et y deux nombres compris entre ^o et y^. Si ^ est moindre quej^', on a, pour n suffisamment grand,

Gomme /(^) est croissante, celte inégalité entraîne ^^>.rfl, ou bien y(j^') > 'f (y), ce qui prouve que <p(jK) est croissante.

Remarque /. — La démonstration ci-dessus exige que /(^) soit croissante dans tout V intervalle (a, 6). Si elle était seulement non décroissante dans une partie de l'intervalle, la fonction inverse pourrait n'être pas continue. Ainsi, supposons /(a:) croissante entre a et ^o? P^iis constamment égale à c entre x^^ et a?<, de nouveau croissante entre x^ et 6, et d'ailleurs continue dans tout l'intervalle (a, 6). Elle admet bien une fonction inverse <p(^) ; mais celle-ci n'est pas continue dans tout l'intervalle de^o=/(«) à ^4 =/(&), puisqu'elle tend vers Xç^ quand y tend vers c par valeurs croissantes et vers x^ quand y tend vers c par valeurs décroissantes. De plus, pour y '==^c^ elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre x^^ et x^.

Remarque IL — Il n'est pas besoin d'insister sur l'importance du théorème précédent, qui fait correspondre à toute fonction continue et croissante une fonction inverse douée des mêmes propriétés. Il ne s'applique, il est vrai, qu'à unq classe de fonctions très restreinte, même parmi les fonctions continues, car l'intervalle où une fonction est continue n'est pas, en. général, décomposable en un certain nombre d'autres intervalles, où elle soit croissante ou décroissante. Mais, si les fonctions pour les-

8o CHAPITRE IV.

quelles celle décomposilion esl possible sonl relalivemenl peu nombreuses, elles ont une importance considérable, parce que ee sont celles qui se présentent dans les applications de l'Analyse aux phénomènes naturels.

IV. — Fonctions définies à l'aide d'un paramètre auxiliaire. 6. Étant données deux fonctions de t,

on peut se demander à quelles conditions y est une fonction de^. Voici un cas très étendu où il en est ainsi. On suppose que x est une fonction de ^, continue et croissante dans l'intervalle (^o)T) et quej^ est une fonction continue de t dans le même intervalle. Je dis que^estune fonction continue de x dans l'intervalle de 4Po=f (^o) à X = cp(T).

Donnons-nous, en effet, un nombre x dans ce dernier intervalle. Gomme cp(^) est continue et croissante entre ^o et T, elle admet (n°5) une fonction inverse dans l'intervalle (^o) X)» Clela veut dire qu'au nombre x correspond une suite convergente ti^ t2, . . ., tnf ..., dont on a appris à calculer les termes. Puisque ^(t) est une fonction continue, l'une quelconque des suites

est convergente et toutes les suites qu'on peut former de cette façon sont équivalentes entre elles (Chap. III, n®6). On fait donc ainsi correspondre au nombre x des suites ^<,^2) •••j^/i, ••• convergentes et équivalentes.

En second lieu, y est une fonction continue de x dans l'intervalle (xq, X). Car si l'on se donne dans cet intervalle la suite

convergente

on peut lui faire correspondre une suite convergente

en prenant chacun des nombres i?, t', ^', .., suffisamment éloigné dans la suite dont il fait partie, puisque ^, d'après le théorème des fondions inverses, est une fonction continue de x.

PROBLÈME INVERSE DU CALCUL DES FONCTIONS. 8l

Puisque j^ est une fonction continue de /, à la suite t t' t"

on peut faire correspondre, toujours par le même procédé, une suite convergente

Xt y t y 1 • • * >

ou toute autre, nécessairement équivalente à celle-là. Ainsi, à la suite convergente x^x\d\ ... correspond une suite y, ^', y, ..., elle-même convergente, ce qui démontre que y est une fonction continue de ^, dans l'intervalle considéré.