V. — Équations fonctionnelles

7. En définissant les fonctions d'une variable nous avons signalé (Chap. II, n** 4) un type de problèmes que les applications conduisent à généraliser de la manière suivante :

On considère plusieurs nombres x^ x^, X2^ ..., Xry ^r+i? •••? Xn appartenant à un certain intervalle (cijb) et dont les uns Xj X\^ 0^2? ..., ^r sont quelconques dans l'intervalle, tandis que les autres o^r+i? • • -j ^/i sont connus lorsque les premiers sont donnés. On demande de faire correspondre au nombre quelconque x un nombre f{x) par la condition qu'une certaine suite d'opérations arithmétiques, effectuées sur les nombres a:, ^r^, ..., Xn, /(x), /(Xi)^ ,.., /(Xfi) donne pour résultat zéro, ce que nous exprimons par l'équation

4»[ar,a7i, ...,^«;/(ar),/(ari), . . ., /(ar«)] = o.

Le cas où n est nul est celui dont nous avons déjà parlé. Déjà, dans ce cas, le problème est d'ordinaire insoluble. Nous en avons modifié l'énoncé en demandant de trouver pour chaque nombre x compris entre a et b une suite convergente /i(^), y2(^)) •••> fn{^)i ' ••} telle que les opérations dont ^ est le symbole, effectuées sur;r et sur les divers termes de cette suite, aient pour résultats des nombres tendant vers zéro. Nous sommes convenus de dire que le problème était résolu par une fonction f{x), quand les termes de toute suite équivalente à f\{x)^ •••j//i(^)î •••> G. R. — I. 6

Sa CHAPITRE IV.

soumis avec x aux opérations ^, donnaient aussi pour résultats des nombres tendant vers zéro.

Cest dans le même sens que nous entendrons le problème plus général que nous venons de poser. Seulement, quand les opérations ^ portent sur plus d'un x, on peut, en général, à diverses valeurs particulières de la variable, faire correspondre autant de suites convergentes /(a:) choisies arbitrairement. Mais, ces suites une fois données, celles qui correspondent aux autres valeurs x sont pleinement déterminées dès le moment que l'on considère comme formant une seule suite distincte tout ensemble de suites équivalentes entre elles.

VI. — La fonction exponentielle considérée comme solution d'une équation fonctionnelle.

8. Ces considérations vont se préciser à propos de la fonction par laquelle nous allons résoudre l'équation

qui rentre visiblement dans le type général $ = o. Poup éviter les indices, nous écrirons

(I) f{oc-^h)=.f{x)f{h),

A cette équation nous adjoindrons l'hypothèse complémentaire

a étant un nombre que nous nous donnons arbitrairement , mais qui, comme on va le voir, doit être positif. Mais nous ne supposerons r^'e/i de plus sur la fonction cherchée. Ainsi nous ne l'assujettirons pas à être continue, ni seulement finie.

On voit d'abord que lafonclion/(j;), si elle existe, est toujours

positive. Car si, dans l'équation (i), on change x en - et qu'on prenne A = -, on trouve

D'après cela, le nombre a =/(i) ne peut être que positif ou

nul. Or, si Ton fait h = i dans l'équation (i), il vient

L'hypothèse a = o entraînerait donc f[x-\-i) = o^ quel que fût X, Écartons cette solution sans intérêt et faisons x='.o, 1) viendra

Ainsi /(o) = I . Dès lors, nous pouvons ne donner à x que des valeurs positives. Car, pour h = — x^ l'équation (i) donne

Cela posé, donnons kx une valeur positive quelconque ^ ' > à A la valeur — • Nous aurons, en vertu de l'équation (i).

Laissant fixe le dénominateur q^ donnons à l'entier p successivement les valeurs i, 2, 3, ..., p — i, p. Nous obtenons des relations, qui, multipliées membre à membre, donnent

/(f)=Kj)]'-

Faisons maintenant p z= q. En vertu de notre définition des fonctions, /f - jest le même nombre que /(i), c'est-à-dire a. On a donc

Élevons les deux membres de cette égalité à la puissance /?, ceux de la précédente à la puissance q. Nous trouvons ainsi

«'=Kj)] =Kf)]

OU, en désignant pour abréger f[^) par^.

Si donc la fonction y=/(x) existe, elle devra satisfaire à

cette égalité. Ceci nous conduit à chercher une fonction y de a: = — qui soit toujours positive et telle qu'on ait

9. Sauf le cas exceptionnel où aP est la puissance y»«"e exacte d'un entier ou d'une fraction, il n'existe pas de nombre y, qui, élevé à la puissance q^ reproduise aP, Mais on peut former une suite convergente de nombres y^^ ^2? •••> ^Xr? • • •? tels que les différences

tendent vers zéro quand r augmente.

En effet, considérons les racines ^>*™es jg ^p^ ^ j^-r près, par défaut et par excès, Zr^o'^ et (zr+i)io~'*, que l'arithmétique enseigne à calculer. Le nombre aP étant compris entre leurs puissances y'èmes^ si j'qq prcud pour j^;. la racine par défaut, on aura

Or l'identité

{Zr-^- lf-zl=(Zr-tl f-'-^{Zr-^ I )''-^ Zr-^ ...-+- Z^'

donne immédiatement

{Zr'^iy-z''r<q{Zr-hlf-\

d'où résulte

Mais on sait (Chap. 1, n** 5) que les racines par excès à — - près

diminuent quand r augmente. Donc, si Zo+ i est la racine à une unité près par excès, on aura, a fortiori,

La différence 8^ tendant vers zéro quand r augmente, la suite convergente dontyr= Zrio~'' est un terme répond à la question.

convergente y 1,^2 7 •• •? Tn

Nous avons ainsi trouvé pour chaque nombre x= — une suite

10. Mais cela ne suffit pas pour définir une fonction y de x. Il faut encore que les termes de toute suite {y'^) équivalente à (yr) rendent les différences

aussi petites qu'on voudra, pour /' suffisamment grand. C'est ce qui résulte (Chap. III, n«6) de la continuité de la fonction z^. De plus, toute suite convergente (^^) composée de termes positifs, convergente mais non équivalente à {yr)j ne jouit pas de celte propriété, parce que la fonction z^ est continue et croissante si 2 >>i, continue et décroissante si ^<;i, de sorte qu'il n'y a qu^une fonction y répondant à la question.

11. Il reste encore à vérifier une dernière condition, celle que traduit Tégalilé

Nous avons à montrer que toute suite convergente (y^;.) dont les termes rendent aussi petite qu'on veut la différence

est équivalente à la suite (yr) des racines de aP calculées par défaut. Cela revient à prouver que la différence

peut être rendue aussi petite qu'on veut pour r suffisamment grand. C'est ce qui résulte de l'identité

Car yr étant une racine q'^^^ de aP par défaut, (yr)^ est plus petit que aP. On a donc

8r étant aussi petit qu'on veut, la proposition est démontrée. Ainsi, la condition

y^=aP

définit bien une fonction y de — et une seule, si l'on assujettit

cette fonction à être positive.

p C'est cette fonction y que nous désignerons par a^ ou par a^;

sa valeur est l'un quelconque des termes de la suite (yr) à partir d'un rang suffisamment éloigné.

12. Mais il reste à montrer que cette fonction satisfait bien à la

condition

qui, avec nos notations actuelles, s'écrit

p Pi r^eI

Je dis que, étant donnée une fraction positive e, aussi petite qu'on veut y on peut déterminer un indice r tel que les différences

^ = \ yr-hnyr-hn' — yr-i-fi \,

où yr+nj yr^n'^ ^r+N ^^^^ ^^^ tcrmcs dcs trois suites gui définissent

p Pi p^E

soient toutes positives, n, n\ N étant des entiers positifs arbitraires.

Pour le montrer, posons

V^pq\ ?' = p'q, Q. = qq\ d'où résulte

Nous avons vu que, si r est suffisamment grand, quelle que soit la fraction positive t) donnée aussi petite qu'on veut, on a

(.yr+n')^= «•" -+-2f'')} (-lO, 2f', e<i).

De là résulte

K étant un nombre fini, inférieur à un nombre assignable.

Si, pour un instant, nous désignons le produit y r+n y r+n' par A 6t^r+N par B, nous aurons

par conséquent

Or, P, P' et Q étant donnés, on peut fixer un nombre inférieur à ce dénominateur. Car les trois nombres yr+«j ^r+/i'? ^r+N sont supérieurs respectivement aux racines Q^èmes^ ^ y^g unité près par défaut, de a**, de a^ et de 0^"^^. La proposition est donc démontrée.

VII. — Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle.

13. Nous allons établir maintenant deux propriétés importantes de la fonction exponentielle, qui consistent en ce qu'elle est continue dans tout intervalle, et croissante dans tout intervalle si a>i, ce que nous supposerons, décroissante si a<;i. En vertu d'une remarque déjà faite (Chap. II, n** 3), il suffit de considérer une suite convergente définissant a^ pour chaque valeur de X, Nous choisirons la suite formée par les racines de a par défaut à lo"'* près. Soient po, pÔ, Rq les racines Q'^"*^ entières par défaut de a**, a"*', a^^**'. On voit aisément que le produit pop'^ ne peut être supérieur à Rq, quand a > i . Nous diminuerons donc le dénominateur de A en le remplaçant par Q(po?'o)^~*- Quant au numérateur, il est égal à

7)(3'aP-f-2raP'-e-4-2r2r;j).

Mais, comme dans la relation

(rr+N)« = «'*^^'+e7),

nous désignons par yr+ji ^^^ racine Q»^'"^ jg a^+^' par défaut

à lo"'* près, le nombre tj est précisément celui que nous appelions plus haut 8. Il peut donc être pris égalàQ(Ro+ i)^~* lo'^etl'on a

M étant un nombre qu'on peut assigner quand on connaît P, P' et Q. Il suffira donc de pousser assez loin Textraclion de la racine j/"^ 4. N, c'est-à-dire de faire s assez grand, pour que A tombe au-dessous de toute fraction donnée.

Prenons, en effet, dans cet intervalle, deux nombres quelconques, ^ et ^ + A, le premier moindre que le second ; et soient

Nous avons

f{x 4- h) -/(^) =f{x) [/(h) - I] -4- SA.

Or f(h) et /(x) sont des racines Q'^^e», à une certaine unité décimale près, par défaut, de a^' et de a**, et a^' est plus grand que I. Il existe donc un certain ordre décimal io~" auquel correspond une racine par défaut paio"*, plus grande que i. En conséquence, si f{oo) est une racine à io~' près de a^ et si nous prenons s supérieur à ce nombre a qu'on vient de déterminer, comme /(^) est plus grand que i, on a certainement

Maintenant nous pouvons, d'après ce qui a été dit, disposer de 5 de façon que A soit inférieur à io~", puisque a: et x -h h sont des nombres donnés à l'avance. Alors le second membre de l'équation précédente est positif et f{x + h) est plus grand que f{x), La fonction /{x) est donc croissante dans tout l'intervalle, puisque x et x ^ h sont deux nombres quelconques de l'intervalle (xq, X).

15. Théorème. — La fonction exponentielle est continue dans tout intervalle (xq, X).

PROBLÈME IKYëRSE DU CALCUL DES FONCTIONS. 89

En effet, si nous désignons toujours p\q par x et f{x) par j^, nous avons

puisque y est une racine par défaut. Effectuons la division de q

par p et soit

q^mp-^rpi ipi<p)' Il vient

Mais y est au moins égala i, comme racine d'un nombre a plus grand que i; on a donc

ce qu'on peut écrire

On conclut de là, a fortiori,

i-^m{y — j)<a, r — ^< ^^^-' c'est-à-dire

On peut maintenant déterminer h de telle façon qu'il vienne

e étant une fonction aussi petite qu'on voudra. Il suffit, en effet, pour cela, de satisfaire à l'inégalité

Or l'exponentielle a^ étant une fonction croissante dans tout l'intervalle (^o? X), on peut, dans l'inégalité à vérifier, remplacer a^ par a^o puisque x^ <C oc. Déterminons maintenant h par la condition

I — Il '1

qui donne

ho étant un nombre indépendant de la valeur considérée x. Dès lors, si l'on prend pour A une fraction quelconque moindre

que Aoî on connaît les deux nombres

On peut donc choisir 5, c'est-à-dire pousser l'extraction des racines Q»^™** de a"*, de a**' et de a^"*"**' assez loin pour que A soit moindre que ela. Alors on aura visiblement

Comme le nombre A© est indépendant de x^ la fonction exponentielle est continue, non seulement pour la valeur considérée, mais dans tout l'intervalle [xq^ X), qui est d'ailleurs quelconque.

16. Remarque, — Nous avons jusqu'ici considéré la base a de la fonction exponentielle comme un nombre fixe ; et dans les applications, cette base devra recevoir toujours la même valeur, sans quoi l'on ne formerait pas avec a et ^ une fonction exponentielle. Mais on peut avoir à supposer que la base a, au lieu d'être un nombre fixe, soit un terme d'une suite convergente a^. ^2, • • M <^/i) <^/i+i) Alors, pour un même x donné, la suite

est elle-même convergente.

Posons, en effet

et soit, pour fixer les idées, e,j>o. Nous aurons

Considérons seulement, pour abréger, le cas où x est positif et a, plus grand que 1 . Comme l'exponentielle croît avec x^ on aura, si X est inférieur à i ,

(i-+-s„)'^<n-ert;

par suite la différence précédente est inférieure à a^£„.

Si X est supérieur à i , appelons M l'entier qui lui est égal ou immédiatement supérieur. Comme, pour n suffisamment grand,

€« est inférieur à l'inverse de M, on vérifie aisément (*) Tinégalilé

(i -+-£«)*'< I 4- 2Me«.

Par suite, la différence considérée est inférieure à 2Ma;j€„, ce qui achève la démonstration.