VIII. — Fonction inverse de l'exponentielle : logarithme
17. La fonction exponentielle y= «^, étant continue et croissante (ou décroissante) dans tout intervalle {xq^ X), admet, d'après un théorème démontré plus haut (n° 5), une fonction inverse x qui jouit des mêmes propriétés dans l'intervalle
(jo=a*o, Y=:a^).
Cette fonction est dite le logarithme de y en base a; on la représente par le symbole log^^.
On reconnaît facilement que la limite inférieure y^ de Tintervalle considéré ne peut jamais être un nombre négatif, mais peut être une fraction positive aussi petite qu'on voudra, tandis que la limite supérieure Y 'peut être un nombre positif aussi grand qu'on veut.
La propriété capitale de la fonction logarithmique est celle qu'exprime Téquation
Précisons le sens de cette relatioa avant de la démontrer. Nous nous donnons deux nombres y et y' , A ces deux nombres correspondent respectivement les deux suites convergentes
a?!, 0^2, ..., ^rt-4-Vî •••»
(') Soient m un entier positif et z un nombre positif, tel que mz <i. On a
mz (m — 1)5 mz (m — i)^ (m — 2)z I 2 I i 3
<i-h mzli-+- — H +...H- -^)<i-f-2m:?.
telles que l'on ait
V étant un entier positif quelconque, 8,| une fraction qui devient aussi petite qu'on veut quand n est suffisamment grand, 9 et 9' deux nombres compris entre zéro et l'unité. C'est en cela que consiste l'existence de la fonction inverse x.
De même, au nombre Y = yy correspond une suite convergente
^1? ^2ï •••> -Xn-i-N, ...
et l'on a pareillement
Formons le produit yy et égalons-le à Y; nous trouvons
Il résulte visiblement de là que la suite, dont X„^n est le terme général, est équivalente à celle dont le terme général est ^/i+v + ^n-hv C'est précisément là ce qu'exprime l'égalité qu'il s'agissait d'établir.
En s'appuyant sur cette relation, maintenant démontrée, on prouverait facilement celle-ci :
logl^*^/ = ^logr,
qui exprime seulement l'équivalence de deux suites; y^ est, en effet, l'un quelconque des termes de rang suffisamment éloigné d'une suite -s^, -^2) •••? tandis que le logarithme d'un quelconques des termes de cette suite est lui-même défini par une suite convergente. Nous avons expliqué dans un cas tout à fait général (Chap. l, n** 13) comment doivent être formées les suites telles que celles dont il est ici question.
DÉRIVÉES. — PREMIERS EXEMPLES DE FONCTIONS UNIFORMÉMENT DIFFÉRENTE BLES.
Quand une fonction f{x) est continue pour chaque valeur de x appartenant à un intervalle (*), il y a lieu d'étudier le rapport de l'accroissement de cette fonction à celui de la variable : Tétude de ce rapport, dans certains cas, conduit à la notion de dérivée, l'une des plus fondamentales de l'Analjse. Après avoir précisé cette notion, nous définirons les fonctions particulièrement importantes qui jouissent de la propriété d'être uniformément différentiables^ et nous donnerons quelques exemples de pareilles fonctions.
