I. — Cas où la fonction est définie par des nombres

\ . Pour plus de simplicité, nous ne considérerons d'abord que le cas où la fonction f{x) est pour chaque valeur x un nombre déterminé, et non un terme de rang suffisamment élevé d'une suite convergente.

A une valeur x -\- h correspond le nombre f{x + A) ; la différence

est V accroissement de la fonction f pour l'accroissement h de la variable à partir de la valeur x. Considérons maintenant des accroissements A, /t'. A", . . ., formant une suite convergente qui ait pour limite zéro, et soient A", /:', k' ^ . . ., les accroissements

(•) Ce qui n'entratne pas, rappelons-le, qu'elle soit continue dans cet intervalle {voir Chap. III, n"»7).

correspondants delà fonction. Nous formons la suite des rapports

Suivant la fonction /(^) que Ton considère, cette suite sera ou ne sera pas convergente. Quand elle est convergente et quand, de plus, toute suite analogue de rapports

ayant pour dénominateur des nombres qui tendent vers zéro est elle-même convergente et équivalente à la première suite, la fonction f{x) jouit de propriétés qui la rendent particulièrement remarquable.

On donne un même nom à tous les termes de la suite

à partir d'un rang suffisamment éloigné : on appelle chacun d'eux la dérivée de la fonction /(^) pour la valeur x considérée, et Ton dit que la fonction /(a:) admet une dérivée pour cette valeur. Lorsque la fonction admet une dérivée pour chaque valeur x comprise dans un intervalle (xq, X), cette dérivée est elle-même une fonction de x puisque à chaque valeur x correspond une suite convergente (i) dont la dérivée est un ferme, et une seule si l'on ne regarde pas comme distinctes les suites équivalentes telles que (2). On représente cette fonction dérivée par /'(x).

Remarque, — En vertu de notre définition des fonctions, toute suite équivalente à la suite (1), alors même qu^elle ne serait pas formée de la même façon, est également propre à définir la dérivée. C'est là une observation très importante, sur laquelle repose, au fond, le calcul des dérivées.

Pour former les dérivées, on évite, quand cela est possible, le calcul direct du rapport des deux accroissements k et A; on cherche à construire de toutes pièces une fonction, c'est-à-dire un ensemble de suites équivalentes à celle dont on est parti pour définir la dérivée, mais donnant lieu à des calculs moins pénibles.

DÉRIYÉES. 95

2. Exemple. — La fonction la plus simple que Ton puisse définir à la façon de celles dont il s'agit ici est la fonction

où m est un entier positif. Il est aisé de voir qu'elle admet une dérivée pour toute valeur a:. En effet, si l'on donne à ^ un accroissement h et qu'on désigne par k l'accroissement correspondant de la fonction y, on aura

Appliquant la formule du binôme, on trouve

rr = mx^-^-^ R,

les m — I termes dont la somme est désignée par R contenant en facteur, le premier A, le second A^, ..., le dernier A'^~*. 11 est manifeste que, quelle que soit la loi suivant laquelle on fera tendre h vers zéro, le rapport k : h tend vers rrix^^^ , Telle est donc la dérivée de la fonction x^,

II. — Cas où la fonction est définie par des suites convergentes.

. 3. Nous arrivons maintenant au cas où la fonction f{x) est définie par un ensemble de suites convergentes. Soit, pour la valeur x^ la suite

(3) /i(^)> M^)i •.., //»i(^), •••, AC^)» ••••

Si /i4, A2? . • • so'^t des nombres tendant vers zéro suivant une certaine loi, les valeurs de la fonction y pour a: + A4, ^ + A2, ..., seront respectivement définies par les suites convergentes

(4) /i(a?-i-Ai), fi{x-^hi), ..., fr^x-i-hi), ...,

(5) /i(iP-+-A2), M^-^K), '". ^(^-+-^0» "->

Supposons qu'en rapprochant les termes de la suite (3) de ceux de la suite (4), puis de ceux de la suite (5), et des autres, on ait

pu constituer une suite convergente

Supposons, en outre, qu'à toute autre suite h\, h'^^ ... de nombres tendant vers zéro on puisse faire correspondre une suite analogue à la précédente, et qui lui soit équivalente; on dit alors que la fonction / admet une dérivée pour la valeur considérée x^ et cette dérivée f^{x) est l'un quelconque des rapports qui composent ces diverses suites.

Insistons, pour préciser davantage, sur les indices /ij, Tj, /i2, r2, ..-, dont la grandeur doit être dans une certaine relation avec la petitesse des accroissements correspondants Ai, ^2? • ••• En efiet, la notion de dérivée, telle que nous venons de la définir, serait illusoire, si, en prenant, pour former les numérateurs des rapports qui composent la suite (6), des termes de rang plus élevé que ceux qui ont été empruntés à la suite (3) et respectivement aux suites (4), (5), . . . , on obtenait une nouvelle suite

non équivalente à la suite (6). Mais nous allons montrer qu'il n'en peut être ainsi, si les indices /i/, ri ont été pris suffisamment grands.

Voici ce qu'il fautentendre par ces mots. Donnons-nous une suite quelconque £<, £2, . . ., de nombres tendant vers zéro. Puisque la suite (3) est convergente, on peut déterminer l'indice n^ de telle manière que, p étant un entier positif quelconque, on ait