IA(^)-A

De même, la suite (5) étant convergente, on peut déterminer Ti de manière à vérifier, quel que soit l'entier positif q^ l'inégalité

En déterminant d'une manière analogue les indices Aa, /'a et les

DÉRIYÉES. 97

suivants, on s'assurera que toute suite telle que (6/ peut s'écrire

7 HOiei, 7 HOjÊj, ...,

Al /ij

les fractions 0/ étant comprises entre — i et + 1, c'est-à-dire que toute suite de cette espèce est équwalente à la suite (6).

4. Nous avons dû, dans ce qui précède, supposer la fonction f{x) donnée par une suite convergente déterminée, la suite (3). Mais nous savons qu'elle peut aussi être définie par toute suite équivalente

(7) ?i(^), ?j(^), -.M ?rt,(ar), ..., ^n^{x), ....

Il faut donc que l'on puisse, dans la formation de la dérivée, substituer cette nouvelle suite à la suite (3). C'est ce qui a lieu en effet. Pour le montrer, considérons la suite

qui est l'analogue de la suite (6), et donnons-nous une suite de nombres e',, t^, •• ., convergeant vers zéro. En vertu de l'équivalence des suites (3) et (7) et de la continuité de la fonction pour la valeur x, on peut choisir nt et ri de manière à vérifier les deux inégalités

On déterminera d'une façon analogue les indices /la, /'a et les suivants. Dès lors, la suite (8) pourra s'écrire

(~i<ei<i),

ce qui prouve qu'elle est équivalente à la suite (6).

On comprendra mieux l'importance de la remarque précédente

si l'on observe qu'elle revient à ceci : si deux fonctions /{x)

et cp(^) sont identiques pour toutes les valeurs x appartenant à

un intervalle et si l'une d'elles admet une dérivée, la seconde en

admet une aussi et ces deux dérivées sont identiques. C'est là une conclusion fort utile. Par exemple, quand <p(^) est une série, il est, en général, impossible de reconnaître si elle admet ou n'admet pas de dérivée. Mais, si l'on sait sommer la série cp(j;), c'est-à-dire si l'on parvient à prouver qu'elle est identique à une fonction connue, admettant une dérivée, on est assuré, par là même, que la série a une dérivée et l'on sait la trouver.

III. — VariatLons de la fonction et signes de la dérivée. Fonctions à dérivée nulle.

5. Quand une fonction admettant une dérivée est croissante pour toutes les valeurs x appartenant à un intervalle, cette dérivée ne peut être que positive ou nulle, puisque, d'après la définition des fonctions croissantes, aucun des termes de la suite

n'est négatif. Il peut arriver, d'ailleurs, que cette suite tende vers zéro, auquel cas la dérivée est nulle.

Réciproquement, si la dérivée est positive dans tout un intervalle, la fonction est croissante /?owr chaque valeur x appartenant à l'intervalle; mais cela n'entraîne pas qu'elle soit croissante dans tout l'intervalle (Chap. III, n*' 9).

Enfin, si la fonction est constante dans tout un intervalle, elle a une dérivée, et cette dérivée est nulle pour toutes les valeurs x de l'intervalle.

Les trois propositions que nous venons d'énoncer ne doivent pas être considérées comme évidentes a priori. On les démontrera en se reportant aux définitions précises que nous avons données (Chap. III, n°9) des fonctions croissantes et des fonctions constantes. On conçoit d'ailleurs que des résultats destinés à avoir un aussi grand retentissement dans toute l'Analyse ne puissent pas être le résultat de quelque constatation banale.

Nous insisterons sur la réciproque du dernier énoncé :

Si la dérivée d^ une fonction est nulle pour toutes les valeurs