DÉRIVÉES

appartenant à un intervalle, il ne s^ ensuit pas que la fonction soit constante dans tout cet intervalle.

Voici un premier exemple qui le montre bien : Soil un intervalle rationnel quelconque (o, i) ou tout autre, que nous décomposerons en deux intervalles irrationnels (ei ) et (ea) : dans le premier intervalle {e^) la fonction f{x) a une valeur constante a^\ dans le second, une valeur constante ^2, différente de a^ . Cette fonction admet une dérivée pour toutes les valeurs ^, sans exception, appartenant à l'intervalle total (o, i), et cette dérivée est nulle. Néanmoins la fonction n'est pas constante dans tout cet intervalle.

A la vérité, cet exemple est peu intéressant, parce que la fonction est discontinue dans l'intervalle total et surtout parce que cet intervalle est décomposable en deux autres, dans chacun desquels la fonction est constante. Mais on peut construire des fonctions continues dans tout un intervalle qu'on ne peut pas décomposer en un nombre déterminé de sous-intervalles où elles soient constantes, fonctions qui ont cependant une dérivée constamment nulle dans l'intervalle considéré.

6. Voici la définition d'une fonction f{x) jouissant de ces propriétés dans l'intervalle (o, i). Nous donnons à f{x) la valeur zéro pour x =^ o et la valeur a pour x = i\ nous divisons l'intervalle (o, i) en trois aulres intervalles irrationnels ei, ^2, e^ tels

que le second e^ comprenne la valeur x = -' Nous donnons ^f(x)

dans tout l'intervalle ^2 la valeur constante

-(o-ha) = -.

Ainsi f{x) est définie dans l'intervalle ^a; elle ne l'est pas encore dans les intervalles e^^ e^.

Pour abréger, nous appellerons intervalle plein un intervalle dans tout lequel la fonction est définie; intervalle vide un intervalle où elle ne l'est pas. Ainsi ^2 est un intervalle plein; ei, (?3 sont des intervalles vides. Nous considérerons la valeur x =:o et la valeur x = i comme des intervalles pleins.

Maintenant nous divisons les intervalles vides Ci, ea, respecti-

100 CHAPITRE y.

vement en trois autres irrationnels e\^ e\^ e"l\ e,, e\^ e"^. Sauf les intervalles qui commencent à zéro et ceux qui finissent à i, tous les intervalles dont nous parlerons sont irrationnels à leurs deux limites.

Si les deux fractions ^ et ^ ne sont pas déjà comprises dans

rintervalle Ca, nous opérons le nouveau fractionnement de façon

que e\ comprenne a: = ^ et que e\ comprenne a: = ^' Dans le cas

contraire, le fractionnement sera fait d'une façon absolument quelconque. Dans l'un et l'autre cas, nous attribuons kf{x) dans l'intervalle e^ la valeur constante

qui est la moyenne des valeurs relatives aux deux intervalles pleins entre lesquels est compris e'|, et dans l'intervalle e\ la valeur

constante

\ fa \ 3a -(--i-a = -— ,

moyenne des valeurs relatives aux deux intervalles pleins entre lesquels est compris e,.

En résumé, après ce second fractionnement, nous nous trouvons avoir créé 7 intervalles, alternativement vides et pleins et tels que la diflFérence des valeurs de la fonction dans deux intervalles pleins consécutifs est a\ 2^.

Continuons à diviser les intervalles vides chacun en trois intervalles irrationnels et faisons en sorte que toutes les fractions de dénominateur 4? P^îs toutes celles de dénominateur 5, etc., soient dans des intervalles pleins; de plus, donnons toujours pour valeur à /(a:) dans chaque nouvel intervalle plein la moyenne des valeurs relatives aux deux intervalles pleins qui le comprennent.

On voit que la fonction /(^) se trouvera ainsi définie pour toute valeur énonçable x. Remarquons en outre qu'après q fractionnements les valeurs de f{x) dans deux intervalles pleins consécutifs diffèrent de a \ 2^.

Nous allons établir la continuité de f{x) dans tout l'intervalle (o, i). Étant donnée une fraction positive Cj aussi petite qu'on

DËRITËES. 101

veut, montrons qu'il existe un nombre a tel que, x et x^ étant quelconques dans l'intervalle, mais différant de moins de a, on a

Déterminons, à cet effet, le plus grand entier gr qui vérifie l'inégalité a : 2^<; Ê et appelons 8^ l'amplitude du plus petit des intervalles qui restent vides après le ^i«™e fractionnement. Je dis que le nombre cherché a peut être pris égal à 8^. Car, x et x^ différant de moins de 8^, de deux choses l'une :

1° Ou bien x et x^ appartiennent au même intervalle plein; alors la fonction étant constante dans un pareil intervalle, la différence f{x^) — f{^) est nulle, conséquemment plus petite que e.

2° Ou bien x et x^ appartiennent à deux intervalles pleins différents; alors, comme leur différence est moindre que 8^, l'un de ces deux nombres appartient forcément à un intervalle créé par un fonctionnement plus avancé que le q^^^^^ et, d'après la loi de formation des intervalles pleins, on a

La continuité de la fonction dans tout l'intervalle (oj) est ainsi démontrée.

Dans tout ceci, nous ne nous sommes pas servis de l'hypothèse que les intervalles sont irrationnels. Nous l'utiliserons maintenant.

Donnons-nous un nombre quelconque x. Il est compris dans un certain intervalle plein, et, comme les deux suites convergentes qui définissent cet intervalle sont irrationnelles, aucune d'elles n'a pour limite x. On pourra donc toujours trouver un nombre p (qui dépend essentiellement de x et change généralement avec x)^ tel que h étant arbitraire, positif ou négatif, mais plus petit que p en valeur absolue, ^ -1- A se trouve compris dans le même intervalle que X, Mais alors /(^ -1- A) a la même valeur que/(^). Donc

C'est-à-dire que f{x) a une dérivée constamment nulle. Cependant f{x)^ on le voit, est continue et n'est pas constante dans l'intervalle (o, i). Il est même impossible de décomposer cet

intervalle en un nombre déierminé d'autres intervalles où f{x) conserve une valeur constante.

IV. — FormatLon de fonctions admettant une dérivée. Dérivée d'une fonction de fonction.

7. Quand on connaît des fonctions douées de dérivées, on peut, àTaide de ces fonctions, en former d'autres jouissant de la même propriété. Soient, en effet, u et v deux fonctions admettant des dérivées pour toutes les valeurs x d'un certain intervalle : la somme m + i^, le produit wi^, le quotient u',{> sont des fonctions qui admettent dans le même intervalle (sauf uli^ pour les racines de v) des dérivées faciles à déterminer (*).

Nous ne nous attarderons pas à démontrer des règles bien connues; mais nous devons insister sur les fonctions de fonctions.

8. Une fonction u = (^(x) étant définie dans un intervalle {xq, Xi) et une autre fonction j^=/(w) étant définie dans Tintervalle ï/o=cp(a:o), Mi = cp(x|), qui correspond au précédent, la question se pose de savoir si y est une fonction de x. On ne peut affirmer qu'il en soit ainsi en général; mais il y a un cas où l'affirmation est exacte : c'est celui où /{u) est une fonction continue dans l'intervalle (mq, Ui).

En effet, (f{x) est l'un quelconque des termes w', «/, w'", ... d'une certaine suite convergente. D'autre part, f{u')^ f{^")^ y*(w"^), ... sont respectivement les termes de rang suffisamment élevé de suites convergentes ^

ri.

yl. ■■

■ fn'

Formons la suite

J^n'î yn'"> yn!*

(') En conséquence, puisque a?"», où m est entier et positif, admet une dérivée (n« 2), tout polynôme entier en x et toute fraction rationnelle (sauf pour les racines de son dénominateur) admettent des dérivées dans tout intervalle.

DÉRIYÉES. 103

OÙ les indices n', n", n'"^ . . . vont en croissant, et qui correspond à une valeur x de Tintervalle (^q? ^0« Cette suite est convergente comme correspondant à la suite convergente u' ^ u" ^ u!"^ ..., parce que la fonction /(j?) est continue (Chap. III, n°6); de plus, toutes les suites analogues que l'on formerait en prenant dans le tableau ci-dessus des termes d'indices respectivement supérieurs à n'y ri\ n"', . . . sont convergentes et équivalentes (Chap. I, n® 15) à la suite considérée. Il résulte de là que jk est bien une fonction de x\ nous la représenterons parF(^).

Supposons maintenant que ç(^) admette une dérivée ^\x) dans l'intervalle (^o? ^\) et f{u) une dérivée f'{u) dans Tintervalle (woj ^^0* A. un nombres; du premier intervalle correspond une suite convergente Ui^u^-i Ws, •• . comprise dans le second et dont nous désignons un terme quelconque par u] à cette même valeurs: correspond une autre suite convergente j^^ î ^'2? JKs^ . • . , dont nous désignons un terme quelconque par y. Considérons des nombres X -{- ^Xy . X -\' ^' Xy X -{- ^' X y ... et désignons par m + Am et y -h ^y, par u-^ ^'u et y -^ bJy^ par u + A" w et j^ 4- ^'y^ . . . des termes de rang quelconque de chacune des deux suites qui correspondent à ces nombres. Nous avons identiquement

AcT Am Ax

et les hypothèses que nous avons faites sur l'existence des deux dérivées cp'(^) et /'(u) reviennent à admettre que les deux suites

Aw A' u A" u

1 — » Ti — ' TTr — ' • • • >

ùlX Xx a X Ay A'7 A> Au A'u Al'u

sont convergentes. Il en est donc de même de la suite

Ay A' y A''y

c'est-à-dire que la fonction j^ = F (^) admet une dérivée et que cette dérivée ¥'{x) est le produit f {u) «p'(^).

I04 CHAPITRE y.