V. — Fonctions uniformément différentiables

9. Définition. — Une fonction /(^) est dite uniformément différentiable dans un intervalle (a, b) si, étant donnée une fraction positive e, aussi petite qu'on veut, on peut déterminer un nombre positif a tel que, pour deux nombres quelconques x^ x' appartenant à l'intervalle et différant de moins de a, le rapport

diffère de moins de e de tous les rapports analogues qu'on peut former avec deux autres nombres quelconques pris dans le petit intervalle a auquel appartiennent x et x' ,

De cette définition résujite évidemment que la fonction f{x) admet une dérivée pour tout nombre x compris entre a et è, et que cette dérivée /'(j;) jouit de la propriété suivante : quel que soit X, on peut, étant donnée une fraction positive e aussi petite qu'on veut, déterminer un nombre a tel que, pour tout nombre x' différant de x de moins de a, on ait

ii^i^ë^-fi')

Quand la fonction n'est pas uniformément différentiable, le nombre a, au lieu d'être constant, dépend de ^ ; et l'on peut, étant donnée une fraction positive -/i, aussi petite qu'on veut, trouver dans l'intervalle (a, b) deux nombres Xy x\ différant de moins de Y\ et tels qu'on ait

/ étant un nombre qu'on sait calculer quand on connaît la fonction /(a:).

Remarque. — Ce qui précède ne nous renseigne pas sur l'existence de fonctions satisfaisant à la définition des fonctions uniformément différentiables. Nous verrons plus tard que toutes les fonctions représentées par des séries entières et toutes celles qu'engendre l'intégration sont uniformément différentiables.

DËRIYËES. I05

Mais, dès les paragraphes suivants, nous allons faire connaître deux exemples, particulièrement importants, de pareilles fonctions, savoir x^ et a^,