VI. — La fonction a

10. Quand m est un entier positif, cas déjà examiné, il est facile de voir que la fonction x^ est non seulement douée de dérivée (n° 2), mais uniformément différentiable.

Quand m est un entier négatif, la fonction jouit des mêmes propriétés, sauf pour la valeur x =^o.

Nous allons maintenant définir et étudier la fonction x^^ en supposant que x est un nombre positif quelconque et m une fraction/? : q dont les deux termes sont positifs.

A une valeur donnée x nous faisons correspondre une suite con vergen te j^i , y 2 ? • • • ? J^r ? • . • ? don t les termes son t, par exemple , les racines q^^^^^ arithmétiques de xP à lo^ près. L'un quelconque de ces termes est, par définition, x"^» 11 est d'ailleurs permis de substituer à cette suite toute suite qui lui serait équivalente : il est parfois utile de considérer celle qui est formée par les puissances p^^^^^ des racines gr**"»" de x; on démontrerait sans peine l'équivalence de cette suite et de la première (*).

11. La /onction x^ est continue. En effet, si nous considérons une suite convergente quelconque x^^ ^2? • • •> ^n) • • •? la

suite

est, elle aussi, convergente d'après une remarque faite à propos

( ' ) Il peut arriver que l'exposant m fasse lui-même partie d'une suite convergente mj, Wj, . . ., /n„, Alors la suite

formée comme nous l'avons déjà expliqué (Chap. I, n* 15) est, elle aussi, convergente, à cause de la continuité de la fonction exponentielle. On prendra pour x"^ un terme quelconque de cette suite, à partir d'un rang suffisamment élevé.

'io6 CHAPITRE V.

de la fonction exponentielle (Chap. IV, n° 16), et ceci sufGt pour prouver la continuité de la fonction considérée, à raison du théorème général (Chap. III, n° 6) qui relie la convergence des suites à la continuité des fonctions dans un intervalle. Cette fonction est donc continue dans, tout intervalle dont la limite inférieure est un nombre positif.

12. La fonction x^ est uniformément différentiable, dans tout intervalle de cette sorte. Pour le prouver, il nous sera commode de la définir, comme il a été dit en second lieu, par les puissances ^»^™es j^g racines y»«™«s jç ^

Désignons par Ç^ l'une de ces racines y*^™^» et formons le quotient

On verra, avec un peu d'attention, qu'on peut prendre x' assez voisin de X pour que le numérateur diffère aussi peu qu'on voudra de /?i?"* et le dénominateur de ^$?~*, de sorte que le quotient

diffère lui-même aussi peu qu'on voudra de — $^~^.

L'existence de la dérivée résulte de ce que $i, $2? •••? \n ••• formant une suite convergente, il en est de même (Chap. IV, n® 16) des nombres

dont l'un quelconque doit, d'après nos définitions, être représenté par

^a? ^ = mx^-^.

Telle est donc la dérivée cherchée. On démontrerait enfin que, étant donnés un intervalle quelconque, dont la limite inférieure est positive, et une fraction e aussi petite qu'on voudra, il est possible de déterminer un nombre a tel que, pour deux nombres a: et x^ appartenant à l'intervalle considéré et différant de moins de a, on ait

mx"^-^ < e,