VII. — Dérivée de la fonction exponentielle

13. Reportons-nous aux paragraphes 13 et 14 du Chapitre IV, dont nous garderons ici les notations, et, en particulier, à l'égalité

Remarquons d'abord que le dernier terme du second membre ne peut donner lieu à aucune difficulté; car, nous étant donné x, lorsque nous aurons fixé la valeur de A, nous pourrons, ainsi qu'il a été expliqué à l'endroit cité, prendre s assez grand pour que A l h soit aussi petit que nous voudrons. Il n'y a donc plus à s'occuper de ce terme.

Nous pouvons écrire

a^— I = |X, (^h=-^jy

la valeur jjl, dépendant de l'approximation avec laquelle on calcule la racine Q'^™® de a^\ Remarquons que, si h est fixé, quelque petit qu'il soit, [jl, ne peut pas, quelque grand que soit 5, tomber au-dessous d'une certaine fraction [jl, qu'on pourrait calculer.

Cela posé, considérons la fonction log^^ et remplaçons l'argument z par I + jjLj. A ce nombre i + [jl^ correspond une suite convergente Aj, ^2? • • • ? A;,, . . ., telle que les nombres

convergent vers z. Remarquons que, si s est déterminé, la suite h^ , A27 • • • n'a pas pour limite A, mais que A/, diffère de A par une fraction e, qui tend vers zéro lorsque s et n croissent simultanément d'une manière indéfinie. Posons donc

hn= h — Ê^,

d'où l'on tire

A = loga(I-^ [i.s)-^h'

Il Vient en conséquence

loga(H-{A,)H-e5

Or, si nous faisons d'abord croître s indéfiniment, en même temps que /i, nous savons que e, tend vers zéro, tandis que [jl^ ne tombe pas au-dessous d'une certaine fraction fixe [jl; par suite, le rapport e, : [jl, tend vers zéro.

Il suffit donc de faire voir que, lorsqu'on forme une suite A, A', h"j ... de valeurs convergeant vers zéro, la suite correspondante

l0ga(I+f^.)^ l0ga(H-fi;)^ l0ga(l+ixj)l^îf, ...

est elle-même convergente. Or, nous avons prouvé (Chap. I, n° 10) que, si [jl,, [Ji.^ , [J^][ , ••• sont les inverses d'entiers positifs qui croissent indéfiniment, la suite

(i+j,,)i^., (, + jx;)^ (i^ii"sr

est convergente. Il est facile de s'assurer que cette conclusion subsiste quand les [jl, sont des fractions positives ou négatives tendant vers zéro. De cette propriété et de la continuité de la fonction logarithmique (Chap. IV, n® 17) il résulte (Chap. III, n®6) que, si l'on désigne par e l'un quelconque des termes de la suite (9), la fonction exponentielle a^ admet une dérivée et que cette dérivée est

loga^*

14. Mais il y a plus : la fonction exponentielle est uni/ormément différentiable dans tout intervalle. Cherchons, en effet, une limite supérieure a de A et de A', telle qu'on ait

Il suffit évidemment de satisfaire aux deux inégalités

^ ia^

DËRIYËES. 109

X étant la limite supérieure de l'intervalle (^0? X) auquel appartient le nombre ^ (si a>i; dans le cas contraire, il faudrait remplacer X par la limite inférieure Xq)* De ces deux inégalités qui ne sont pas distinctes, on tirera, puisque la fonction exponentielle admet une dérivée pour toute valeur ;r et, en particulier, pour ;r = o, une limite supérieure a des valeurs absolues \h\ et \h'\. Cette limite a étant visiblement indépendante de la valeur x considérée, la fonction exponentielle est uniformément différentiable dans tout intervalle {xq, X).

15. Le résultat précédent va nous permettre de calculer la dérivée de la fonction qu'on représente par le symbole e^. En effet, quand on donne à m une valeur fixe dans l'expression

on obtient une fonction dont la dérivée est égale à cette exponentielle même, divisée par

log(i+fx)f',

le logarithme étant pris dans le système qui a pour base ( i -+- — - ) >

et [JL étant une fraction plus petite que toute fraction donnée. Quand m croît indéfiniment, Texponentielle considérée devient la fonction qu'on représente par e^. Il s'agit de voir quelle valeur le logarithme prend dans les mêmes conditions. Appelons-le z ; ce logarithme est défini par la relation

le signe d'égalité indiquant ici l'équivalence de deux suites : celle qui figure au premier membre est convergente (Chap. IV, n** 16); celle qui figure au second membre est convergente (n® 13)

et, de plus, équivalente à celle qui a pour terme général f i -h — j •

IJO CHAPITRE V. — DÉRIVÉES.

Aussi pouvons-nous écrire

ihirhhiù'

Or, dans tout système de logarithmes, le logarithme de la base est égal à l'unité. Nous avons donc z = i, ce qui prouve que la fonction e^ est à elle-même sa propre dérivée.