I. — Premièresjpropriétés

1. Théorème. — Si une fonction est uniformément différentiahle dans un intervalle {a^ è), elle est continue dans cet intervalle, ainsi que sa dérivée.

Nous démontrerons d'abord la continuité de la dérivée. D'après la définition même des fonctions uniformément différentiables (Chap. V, n® 9), on peut, se donnant e, satisfaire à l'inégalité

et en même temps à celle-ci

de leur rapprochement résulte

Pour établir la continuité de la fonction f(oo) elle-même, partons de l'inégalité qui traduit la définition et écrivons-la de la manière suivante

lia CHAPITRE VI.

La dérivée /'(^), étant continue dans Fintervalle (a, 6), est finie; il existe donc un nombre M supérieur à/'(^) + 6£, quel que soit x. Comme, d'autre part, x* — x est en valeur absolue moindre que a, il vient

|/(^')-/(^)|<Ma.

Or a est Indépendant de x\ il est arbitraire et aussi petit qu'on veut. Donc /(a:) est continue dans l'intervalle (a, 6).

Remarque, — Les principales des fonctions douées de dérivée que nous avons rencontrées jusqu'ici se trouvant être uniformément différentiables, il est bon de citer un exemple de fonction qui admette une dérivée sans être uniformément différentiable. Le suivant est d'autant plus intéressant que la dérivée est finie. Anticipant sur des connaissances que nous acquerrons par la suite, considérons la fonction

/(a?) = ar«siD-, [/(o) = o],

qui admet, pour toute valeur x autre que zéro, une dérivée

f'(x) = — cos — h aipsin — •

Cette formule étant inapplicable pour a: = o, il faut, pour cette valeur, se reporter à la définition de la dérivée. Le rapport

, h> sin T k h

= h sin -7-

est le terme général d'une suite

/isin^j h%iïi-r]f h, sin t^ ti ri ri

qui converge vers zéro. Donc, pour ^ = o, la fonction /(a:) admet une dérivée dont la valeur est zéro. Ainsi, dans tout intervalle, la dérivée est déterminée et finie; mais elle est discontinue, si cet intervalle comprend la valeur a: = o. En effet, pour ^ = o, la dérivée f^{x) est nulle. Or, on peut choisir une valeur x aussi voisine qu'on veut de zéro, pour laquelle /'(x) sera aussi voisin

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS UNIFORMÉMENT DIFFÉRENTIA6LES. 1l3

qu'on voudra de tout nombre inférieur à i, par exemple de 1:2. Donc /'(a:) est discontinue et par suite /(a:) n! est pas unifor^ mément différentiable dans tout intervalle comprenant la valeur x = o,

La fonction plus générale

©(a?) = iF^sin -> [<p(o) = o],

où a est une fraction à dénominateur impair, comprise entre i et 2, n'est pas uniformément différentiable dans tout intervalle comprenant la valeur x =^ o parce que, dans cet intervalle, sa dérivée devient infiniment grande sans cesser d'être déterminée. En effet, pour toute valeur x autre que zéro, on a

vj'(x) = aa?«-ï sin a?»-' cos — •

On voit que x peut être pris assez petit pour que cette dérivée dépasse tout nombre donné A.. Elle est d'ailleurs parfaitement déterminée pour cette valeur x^ supposée différente de zéro.

Reste à chercher la valeur de la dérivée pour ^ = o. La formule précédente n'est pas applicable parce que les symboles qui y figurent n'ont pas de sens pour a: = o et que, d'ailleurs, il était impossible de différentier pour cette valeur la fonction proposée dont la représentation n'existe plus quand on fait a: = o. Mais, la fonction ^{x) étant supposée nulle pour ^2; = o, sa dérivée, pour cette valeur, sera, par définition,

h^ sin -r — o

= h sin 7-,

c'est-à-dire zéro, puisque a est plus grand que l'unité.

2. Voici une conséquence importante du théorème précédent: Toute fonction uniformément différentiable est rectifiable {voir Chap. III, n** 13). Soitj/* une fonction de ^, que l'on suppose uniformément différentiable dans un intervalle {xq^H). On peut alors, se donnant un nombre positif £, aussi petit qu'on G. R. - I. 8

Il4 CHAPITRE VI.

veut, assigner un nombre a, tel que sous la seule condition

\xr+i — ix;r\< a,

imposée à deux nombres Xr+t et Xr appartenant à Tintervalle (xqj X), on ait

I (yr+l—yr) — (^^^-l — Xr)f\Xr) I < e | Xr^^ — Xr |.

Ceci permet d'écrire

Cr= /(7r+l— J^r)'-H(a?,.+i--a7;.)»= {Xr+x — Xr) /l 4- [/'(^r) + £Ô]V

Comme /'(^) est finie, on verra aisément qu'on peut remplacer cette équation par la suivante

X;. étant, quels que soient Xr et ^r4.4, inférieur à un certain nombre A. On aura donc

Mais la seconde somme est en valeur absolue inférieure à

Xlt^Xr^X — Xr) = A(X — Xq),

Si donc on prend e suffisamment petit pour que, dans le calcul particulier qu'on a à effectuer, on doive négliger e A(X — Xq)^ la somme considérée se réduira à

Mais/(^) étant uniformément diff^érentiable, sa dérivée et par suite y/i -{- f''^{x) sont continues, donc inlégrables (Chap. III, n** 5). La somme considérée est donc indépendante du mode de subdivision adopté pour l'intervalle (^q, X) : c'est-à-dire que la fonction y est rectifiable, comme nous l'avions annoncé.

3. Théorème fondamental. — Si une fonction f(x\ uniformément différentiable dans V intervalle (a, 6), est nulle pour a et pour 6, sa dérivée s^ annule dans l'intervalle.

Il faut entendre par là qu'on peut déterminer une suite conver-

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS UNIFORMÉMENT DIFFÉRENTIABLES. Il5

gente x^ , X2, • • . , de nombres compris entre a et 6 et tels que la suite /'(aJi), /'(^2)i ••• ait pour limite zéro, cette suite étant formée comme nous l'avons expliqué précédemment (Chap. I, n° 15); de sorte que toute suite composée de termes pris plus loin que ceux-ci dans chacune des suites qui définissent respecti- \emenl f'(œ\)^ /'(^2)> ••• aura, elle aussi, pour limite zéro. A raison de la continuité de/'(^), toute suite $,, $27 ••• équivalente à Xi, X2', . . . jouira de la même propriété.

Le théorème est évident si la fonction f{x) est constamment nulle entre a et b. Sinon /(a;), étant finie puisqu'elle est continue dans l'intervalle (a, 6), admet une limite supérieure et une limite inférieure, dont Tune au moins est différente de zéro. Supposons que ce soit la limite supérieure, et de plus que la fonction n'atteigne pas cette limite (c'est le cas général). Nous avons vu (Chap. II, n°8) qu'alors on peut créer dans l'intervalle (a, b) une série d'intervalles {ar, br), tendant vers zéro, compris chacun dans le précédent et comprenant chacun un nombre Xr pour lequel la fonction acquiert une valeur supérieure à celles qu'elle a pour les deux limites ar et br de cet intervalle partiel; en outre, la suite des nombres Xr est convergente. Cela étant, formons les deux suites

/(ai)-/(^i) f{an)-f(xn) , • • • > > • • • >

«1 ^1 CL/l a7„

Oi — Xi On, — Xn

OÙ les ar sont les limites inférieures et les br les limites supérieures des intervalles partiels. La première est composée de termes tous positifs, la seconde de termes tous négatifs.

Pour n suffisamment grand, la différence bn — a« est plus petite que le nombre a qui figure dans la définition des fonctions uniformément différentîables; comme /(a:) est une de ces fonctions, chacun des deux rapports

f(aa)-f(Xn) ^ f{bn)-f{Xn) <Zfi — Xn bii Xfi

diffère de f'{xn) de moins d'une fraction positive S/i aussi petite qu'on veut. Nous pouvons donc mettre les termes des deux suites

Il6 CHAPITRE VI,

considérées sous les formes suivantes

les e étant des nombres positifs qui tendent vers zéro, les 9 des fractions comprises entre — i et +i. Dès lors, on voit que les deux suites sont équivalentes entre elles et équivalentes à la suite

L'une ajant tous ses termes positifs et l'autre tous ses termes négatifs, elles ont nécessairement pour limite zéro, ainsi que la dernière, ce qui démontre le théorème.

Dans le cas particulier où la fonction atteint sa limite supérieure pour une valeur Xq, il n'est pas nécessaire d'invoquer le théorème que nous avons rappelé. On introduira d'emblée les deux suites considérées, où les Or seront des nombres croissants tendant vers Xç^y les br des nombres décroissants tendant vers ^Tq, et les Xr des nombres respectivement compris entre «r et br\ ils tendront aussi par conséquent vers x^ et la dérivée f'{x) sera nulle pour x^ au sens que nous donnons à ce mot.

4. Remarque /. — Le théorème peut être vrai de certaines fonctions qui ne jouiraient pas de la propriété d'être uniformément différentiables; mais notre démonstration suppose expressément cette propriété. Siy(^), en effet, n'était pas uniformément différentiable, on pourrait, dans Tintervalle (a, 6), trouver deux nombres x et x' ^ aussi voisins qu'on voudrait et tels que

eût 2i\ecf'{x) une différence supérieure à un nombre assignable. Or, si ces couples de nombres x et x^ se trouvaient être ceux que nous désignons par a,i et Xn-^ la démonstration tomberait visiblement en défaut.

Remarque II. — Pour appliquer le théorème précédent ou en poursuivre les conséquences, il faut bien remarquer que la suite x^^ ^2? ... de l'énoncé n'a certainement pour limite, ni a,