PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS UNIFORMÉMENT DIFFÉRENTIABLES. II

ni b. Nous avons vu, en effet (Chap. Il, n"* 6), que la limite supérieure M est l'un quelconque des ternies M|, M2, . . . d'une suite convergente, et les nombres ^1, x^-, ... sont précisément tels que

/(a7i)>Mi— £,, /(^2)>M2— £2,

la suite Si, £3? ••• convergeant vers zéro. Mais sî ^,, ^,, ... avaient pour limite a, par exemple, ou formaient une suite équivalente à a<, a2, . . . dans le cas où Tintervalle [a^ b) serait irrationnel, les nombres /(^i), /( 0:2), ...,y(a:;,), ..., formeraient, à cause de la continuité de f{x)^ une suite tendant vers zéro, puisque f{a) est nul par hypothèse. Il en serait donc de même de M|, M2, . . ., ce qui est impossible, puisque la fonction n'est pas supposée constamment nulle entre a et b.

Remarque III. — La somme, le produit, le quotient de deux fonctions uniformément différentiables sont des fonctions de même nature; toutefois, dans le dernier cas, il faut supposer que le dénominateur n'a pas de racine dans l'intervalle considéré.

II. — Propositions relatives à la variation des fonctions uniformément différentiables.

S. Théorème des accroissements finis. — Etant donnés une fonction f{x), uniformément différentiable dans f intervalle (a, b), et deux nombres x^ x' , appartenant à cet intervalle,

on a

f{x') ^f(x) = {t'^x) [far) + e.J,

Ç étant l\in quelconque des termes d'une suite convergente, tous compris dans V intervalle (x, xf) et er étant une fraction qui tend vers zéro quand r augmente.

Proposons-nous, en effet, d'exprimer la différence /(^') — /(^), que nous écrirons

fix')-^f{x) = ix'-x)k,

A étant un nombre à déterminer. Pour cela, considérons la fonction auxiliaire

Il8 CHAPITRE VI.

Cette fonction de 2, uniformément différenliable dans l'intervalle (a, 6), comme étant la somme de deux fonctions telles, s'annule pour z = a: ei pour z = x^. Sa dérivée

cp'(^)=/'(^)-A

s'annule donc entre a: et a:'; c'est-à-dire qu'on peut déterminer une suite convergente de nombres Çr? appartenant tous à l'intervalle (Xj x') et tels que les différences A — f'{^r) tendent vers zéro quand r augmenle. On peut donc poser

ce qui démontre le théorème.

Remarque L — Les nombres e^ ne tendent ni vers a:, ni vers x\ en vertu d'une remarque antérieure (n° 4).

Remarque II. — Le théorème des accroissements finis s'applique à des fonctions autres que les fonctions uniformément dif-

férentiables. Il s'appliquerait, par exemple, à la fontion x'^ûn-y

dont la dérivée est finie, mais discontinue (n° 1) et même à des

fonctions telles que :z:"sin -> a étant une fraction comprise entre i

et 2, à dénominateur impair, bien que la dérivée de cette fonction devienne aussi grande qu'on veut (n° 1) aux environs de ^ = o.

6. Conséquence. — Une fonction, uniformément différentiable dans un intervalle i^a^ b) et dont la dérivée est nulle pour tout nombre x compris entre a et b, est constante dans cet intervalle.

En effet, soient x et x' deux nombres quelconques de l'intervalle (a, 6), et \r un nombre compris entre x et xf. Par hypothèse, /'(Ç^) est nul. On a donc

en vertu du théorème des accroissements finis.

Si f{x) n'était pas constant, on pourrait déterminer les deux nombres x et x' de façon que/(a:') — f{^) fût en valeur absolue