PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS UNIFORMÉMENT DIFFÉRENTIABLES. II

supérieure à un certain nombre l qu'on pourrait calculer. On en conclurait

ce qui est absurde, car l'indice r peut être pris assez grand pour que Er tombe au-dessous de toute fraction donnée et, en particulier, de la précédente.

Nous avons déjà fait observer et prouvé par des exemples que le présent énoncé n'est pas vrai, si la fonction /(^) n'est pas uniformément différentiable (Chap. V, n°6),

7. Variation des fonctions uniformément différentiables, — Une telle fonction est croissante dans un intervalle (a, b) si sa dérivée n'est jamais négative entre a et 6 et si, de plus, il n'existe dans cet intervalle aucun intervalle où cette dérivée soit constamment nulle.

Trois cas peuvent se présenter : i® ou bien la dérivée est constamment positive dans l'intervalle (a, b)\ 2° ou bien elle est positive pour toutes les valeurs x comprises entre a et 6, sauf pour un certain nombre d'entre elles; 3** ou bien il existe une ou plusieurs suites convergentes ai, a2, . . . , ût^, . . ., comprises dans l'intervalle (a, b) et telles que les nombres

/'(ai), /'(«2), ..., /'(««), ...

tendent vers zéro.

Nous ne traiterons que ce dernier cas, qui est le plus général.

Pour montrer que la fonction /(a;) est croissante dans un intervalle {x\ x) qui comprend un seul des termes de la suite ci-dessus, an par exemple {x'<Can<.x), il suffira de prouver l'inégalité f{x) — /(a„)>o, car on démontrerait de même l'inégalité f{^n)—J{^')'>o qui, rapprochée de la précédente, entraîne la conclusion annoncée. Or on a

et l'on sait que la suite convergente dont Ç^ fait partie ne tend pas versa,,; par suite /'(Çr), ne pouvant être ni négative, ni nulle, est positive. On peut alors assigner à l'indice r une valeur assee

grande pour que tr soit en valeur absolue moindre que/'(Çr); de sorte que l'on a bien

La réciproque de la proposition que nous venons d'établir est exacte et se démontre facilement.

8. Maxima et minima, — On dit qu'une fonction /(a:) passe par un maximum dans l'intervalle (a, 6) si l'on peut déterminer deux autres intervalles [x^^ol)^ (a, X2) contigus, compris dans le premier [x\ <C cl <C X2) et tels que la fonction soit croissante dans l'intervalle (xt^ a) et décroissante dans l'intervalle (a, o^a). On définit le minimum d'une manière analogue.

Si les deux intervalles sont rationnels, a est un nombre bien déterminé et /(a) est plus grand que toutes les valeurs de/pour :z: compris, soit entre Xi et a, soit entre a et X2. Mais, en général, il n'en est pas ainsi, et il est impossible de calculer une valeur a pour laquelle f{x) soit supérieur aux valeurs voisines. Rappelons qu'alors l'extrémité a du premier intervalle (x^ a) est l'un quelconque, à partir d'un rang suffisamment éloigné, des termes tous croissants d'une suite convergente a^ , a2, . . . , a;i, . . . ; l'origine a du second intervalle est l'un des termes, tous décroissants, d'une suite a, , a^, . . . , a^, . . . équivalente à la première.

Quand la fonction f{x) est uniformément différentiable, le théorème précédent (n° 7) donne la condition nécessaire et suffisante pour que cette fonction passe par un maximum dans l'intervalle (a, 6). Il faut et il suffit qu'on puisse déterminer dans celui-ci deux intervalles contigus (a^i, a), (a, X2) tels que la dérivée y*' (a:) ne soit jamais négative dans le premier, jamais négative dans le second, et ne soit constamment nulle ni dans l'un, ni dans l'autre.

Remarquons que la suite

/'(ai), /'(«2) ..., /'(««), ...,

ainsi que toute suite équivalente, doit converger vers zéro. Car, s'il n'en était pas ainsi, elle serait composée de termes tous positifs, tandis que la suite