III. — Dérivée des fonctions inverses

9. Nous avons défini (Chap. IV, n° 5) la fonction inverse X = cp(y) d'une fonction j^ = /(^) continue et croissante dans un intervalle (a, b).

Nous avons prouvé l'existence de cette fonction inverse dans l'intervalle correspondant

.ro = /(^o), ri=/(è);

c'est-à-dire que nous avons appris à former une suite convergente X\^ Xi^ ..., Xu^ ... qui, dans l'intervalle (a, 6), correspond à un nombre y, arbitrairement donné entre y^ etj^i, suite telle que l'on ait

Zfi étant une fraction donnée, aussi petite qu'on voudra, si l'indice n est choisi suffisamment grand. Nous allons montrer que la fraction tn ne dépend pas de y.

Pour cela, rappelons comment nous avons obtenu la suite x^ ^27 • • • > -^/i) . • . • Nous avons formé une suite d'intervalles (a< , bCj-, (^2? ^2)? • • • î (<^/i> bn)y . . . dont chacun est la moitié du précédent. Les divers termes :r<,^2i •-.,^/^, ••• sont des nombres quelconques, compris respectivement dans ces intervalles. Or chacun de ces intervalles est tel que j^ tombe entre /(an) el /{bn), car nous les avons formés de façon qu'il en soit ainsi. Par conséquent, comme /(a) est une fonction croissante, nous avons

\y-A^n)\<Abn)-Aan).

Mais, la fonction /(a) étant continue dans l'intervalle (a, 6), on peut, se donnant à l'avance une fraction e/z, déterminer un nombre a tel que, sous la seule condition

\bn—an I <a,

on ait rinégalité

celle-ci, à son lour, entraîne

la fraction en étant indépendante dey, puisqu'on se l'est donnée arbitrairement.

10. Ce point important étant acquis, nous ferons une hypothèse de plus sur la fonction f{x)', nous supposerons non seulement qu'elle est continue et croissante dans l'intervalle (a, 6), mais qu'elle est uniformément différentiable dans cet intervalle.

Sous le bénéfice de ces hypothèses, nous allons montrer que,

si la dérivée de /(x) ne s'annule pas dans l'intervalle (a, b)^.la

dérivée <f\y) de la fonction inverse diffère aussi peu qu^on

veut de

lorsque V indice n est suffisamment grand; la suite Xs^, ^2? • • . ? Xn-, • • • étant toujours celle que nous avons fait correspondre au nombre y^ choisi d*une manière quelconque entre j^o et j/'i.

Donnons, en effet, au nombre considéré y un accroissement Ay, qui devra être tout à fait arbitraire, pour qu'on puisse parler de la dérivée de la fonction inverse a; = cp(j^). Nous aurons, d'après ce qui précède,

tn représentant la même fraction dans les deux égalités, où et 8' sont des nombres compris entre — i et + i. Retranchant ces deux égalités membre à membre et divisant par A;/-, on trouve

Ax ^Xa ^Ay*

Bien que l'on ne connaisse pas encore le nombre Xn^ on peut, parce que la fonction f{x) est uniformément différentiable, se donner un nombre e aussi petit qu'on veut et en déterminer un

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS UNIFORMÉMENT DIFFÉRENT lABLES. 123

autre a, tel que, sous la condition

I tiXn I < a,

le rapport

diffère def'(x„) de moins de e et qu'on ait, en conséquence,

f(Xn-h ^Xn)—f(Xn)

àXn

--f{^n)-h^lt (-I<ei<l).

D'autre part, nous avons montré (Chap. IV, n® 5) que la fonction inverse <f(y) est elle-même continue dans l'intervalle (/o>J^O> nous pourrons donc prendre Ay assez petit pour que A^„ soit en valeur absolue moindre que a : il suffit pour cela que Ay, tout en restant arbitraire, soit inférieur en valeur absolue à un certain nombre qu'on peut calculer.

Cela posé et Aj/- étant fixé, nous pouvons, dans la suite ^i, X2, . . . , a:^, ... qui est déterminée par la valeur considérée y^ prendre l'indice n assez grand pour que e^ soit inférieur en valeur absolue au produit eAj^ : cette condition fixe, sinon le terme Xn lui-même, du moins une limite inférieure du rang de ce terme. On a alors

^Xa I -f- 2 62 £

Ar /'(^«) + 6ie

Nous déterminerons une limite supérieure de la fraction e, qui est restée jusqu'ici complètement arbitraire, en exprimant que la différence entre le rapport qui figure au second membre et l'inverse àe f'{xn) est moindre qu'une fraction t^^ que nous nous donnerons et qui devra tendre vers zéro quand n augmentera indéfiniment. Pour résoudre l'inégalité qu'on obtient ainsi, remarquons que/'(;2:) ne s'annulant point, par hypothèse, dans l'intervalle (a, 6), sa valeur absolue a une limite inférieure m, différente de zéro. D'autre part, cette valeur absolue a, dans le même intervalle, une limite supérieure M, parce que, /(a:) étant uniformément différentiable, sa dérivée f{x) reste finie. En introduisant les deux limites m et M, on trouve aisément qu'il suffit de prendre

124 CHAPITRE YI.

Nous arrivons ainsi à l'égalité

qui prouve notre théorème.

On voit que, de quelque manière que Ton fasse tendre vers zéro les accroissements A^, A^', . . . , les accroissements correspondants A^//, A^/i', . . . donneront lieu à une suite

équivalente à la suite

Aa7/i Aa7,i'

qui est convergente, /'(^) étant finie et continue comme dérivée d'une fonction uniformément différentiable. On énonce ce résultat en disant que, si uue fonction f(^x^ est continue, croissante (ou décroissante) et uniformément différentiable dans un intervalle (a, 6), sa fonction inverse 'f (^) admet une dérivée pour toutes les valeurs y comprises dans l'intervalle correspondant, et que celte dérivée (p' (y) est l'inverse Aef^x)^ x étant la valeur decp(j^) pour la valeur y considérée.

11. Dérivée du logarithme, — La fonction a^ étant continue, croissante (ou décroissante) et uniformément différentiable dans tout intervalle, nous pouvons appliquer à log^j/- la règle qui vient d'être établie pour la déiivée d'une fonction inverse. Étant donné y^ nous avons

et aussi

dy da^r '' a^rloga^ "

dxr

ce qu'on peut encore écrire

d\o%ay I , ,, I

ûÇr (^ — £/)ioga« "'* y^o^ae

-^yir

Ainsi, au nombre donné y correspond une suite convergente ^o "^2) . . ., ^r, . ••> dont un terme quelconque est par définition

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS UNIFORMÉMKNT DIFFÉRENTIABLES. 125

log^y. Il lui correspond aussi une autre suite, également convergente,

dont chaque terme peut être calculé lorsque son rang est donné. La fraction r\r tendant vers zéro lorsque r augmente indéfiniment, Tun quelconque des termes de cette suite est la dérivée par rapport à ^ de la fonction log^y. C'est ce qu'on énonce en disant que

est la dérivée de la fonction log^j^.