IV. — Formules de Taylor et de Maclaurin

12. Une fonction /(a:) est supposée, dans un intervalle (^r©, X), uniformément différentiable et douée de n dérivées successives, dont les n — i premières soient uniformément différenliables et la dernière seulement finie. Deux nombres, a et a:, étant donnés dans cet intervalle, l'objet de la formule de Taylor est d'exprimer la différence entre /(^) et le polynôme

Représentons cette différence par A(.r — a)^, p étant un entier quelconque; il s'agit de déterminer A. Nous construirons, à cet effet, la fonction

\nl\)\ /"'-"(^)-A(^-^)/'.

Cette fonction s'annule pour s = a et pour z^^x. Or, z^ étant une fonction uniformément différentiable (Chap. V, n® 11), la fonction cp(2) jouit de la même propriété, en vertu de nos hypothèses. Sa dérivée

ia6 CHAPITRE YI.

doit donc s'annuler (n° 3) entre z = a et ^ = ^. Gela veut dire qu'on peut déterminer une suite convergente Çi, $21 •••? ir> •••? comprise entre a et a? et une autre suite e^ 62, .. ., convergeant vers zéro, telle que l'on ait

On conclut de là

Le dernier terme du second membre tend vers zéro, comme tr, quand r augmente indéfiniment; car la suite $«, $2> ••• n'ayant pour limite ni a, ni x^ le dénominateur de ce terme dépasse toujours en valeur absolue un nombre que Ton peut assigner.

Si, dans la formule de Taylor, on fait a = o, on obtient la formule dite de Maclaurin,

qui sert au développement des fonctions en série entière (voir ciaprès Chap. VIII).