Application. — Nous en ferons usage ici pour démontrer

que la fonction e ** et ses dérivées de tous les ordres sont uniformément différentiables dans tout intervalle.

Remarquons d'abord que le symbole

n'a pas de sens quand x est nul. Nous conviendrons qu'il représente zéro, afin que la fonction soit continue. Pour toute valeurs autre que zéro, /(^) admet une dérivée qui, d'après le théorème des fonctions de fonction, est

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS UNIFORNÉIIIENT DIFFÉRENTIÀRLES. I2j

Mais cette expression ne représente pas la dérivée pour ^ = o. Formons cette dernière directement : par définition, on a

Or la formule de Maclaurin appliquée à e^ montre que la suite

converge vers zéro lorsque A, A', h" tendent eux-mêmes vers zéro. La dérivée de f{oc) est donc nulle pour ^ = o.

En continuant de la sorte, on reconnaîtra que toutes les dérivées sont des sommes de termes de la forme

(m entier positif) et que la valeur de chacune d'elles, calculée directement pour ip = o, se réduit à zéro.

Pour prouver que la fonction et toutes ces dérivées sont uniformément dlfférentiables, il suffit de prouver que cette propriété appartient à la fonction ^p, quelle que soit la valeur de l'entier positif m (/n = o, 1 , 2, 3, . . . ).

Formons, à cet effet, le rapport A*: A, que nous désignerons par 'f(x. A),

En posant A = zx^ nous l'écrirons

Étudions d'abord 'f (^, z) pour les valeurs de x supérieures à un certain nombre positif Xq^ que nous déterminerons ultérieurement. Posons

128 CHAPITRE yr.

La formule de Maclaurin donnant

«»= iH- a 4- — e^'* (o< 6 <i),

nous aurons

Appliquant deux fois encore la formule de Maclaurin, on peut écrire

Substituons le premier de ces développements dans le second terme de e" et le second dans le dernier terme de ce même développement; il vient

On a, d'autre part,

d'où finalement

en posant -^ ze ^* [ 2 m 3 /n(/n-f-ï) o.me^^

x^^^X x^ ir2(i-+-Ç)^ 2(i-+-0"*-^* a7*(i-+-Ç')6

[3/7? m(m-4-ï) 2/neQ" 1

jf — 3/n(m-M) m(/nH-i)gQ" H)

On veut que |R| soit moindre que toute fraction donnée £.

— i D'abord le facteur positif x~^^^ e ^' a un maximum; car sa dérivée est positive pour toutes les valeurs inférieures à la racine

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS UNIFORIHÉUENT DIFFÉRER TIÀBLES. I 2g

positive de l'équation

a;-/»-»e~-'^^ ^rn- 1^ = 0,

et négative pour toutes les valeurs supérieures. On peut donc écrire

Quant à z, nous supposerons

q étant un nombre inférieur à l'unité, que nous nous donnons.

Nous allons majorer la valeur absolue du trinôme du second degré en z qui figure dans l'expression de R. A cet effet, changeons les signes — en signes 4- et remplaçons z par q. Dans les binômes i + Ç, i + tj' et i -f- ^Q' ^ qui figurent au dénominateur de certains termes, J^, t^', 'Q' sont en valeur absolue moindres que 5, et par conséquent moindres que q\ nous majorerons donc les termes correspondants en remplaçant ces trois binômes par i — q. Nous majorerons encore en remplaçant a?, qui ne figure qu'en dénominateur, par le nombre plus petit Xç^. Majorons enfin le facteur e^" : on a visiblement

Toutes ces majorations changent le trinôme considéré en une expression essentiellement positive (et non nulle) que nous désignerons par y (^o)- Nous aurons ainsi

Si l'on observe que

1^1= \hx\>\h\x,, on verra que, pour rendre | R | moindre que e, il suffit de prendre

o i''i<i^(-«)(;;rPT)

l3o CHAPITRE VI.

La valeur du second membre ne dépendant pas de x^ on voit que fi^x) est uniformément différentiable dans tout V intervalle (xo, -i-oo). On montrerait de même qu'il en est encore ainsi entre — Xq et — oo.

Il nous reste à fixer le nombre Xq et à étudier ^{x, h) dans Tintervalle ( — Xq^ Xq). Remarquons d'abord que la dérivée ç'(x) est nulle pour a:= o et que, en vertu de son expression

cette dérivée s'annule pour les deux racines de l'équation

mx^ — 2 = 0.

Entre zéro et la racine positive, elle est positive. Entre zéro et la racine négative, elle est positive si m est impair, négative si m est pair. Donc, quand x croît à partir de zéro, o'(x) est positive et croissante jusqu'à une valeur X, à laquelle nous supposerons inférieur le nombre Xq^ considéré plus haut. Pour x compris entre — X et zéro, ^^ (x) est positive et décroissante, si m est impair; elle est, au contraire, négative et croissante, si m est pair; donc, quelle que soit la parité de m, la valeur absolue de ^'{x) diminue quand x croît de — X jusqu'à zéro.

Le nombre positif ^Tq a été supposé inférieur à X; nous lui imposerons, en outre, la condition de satisfaire à l'inégalité

Comme on a visiblement

(p'(-a:) = (-ry«-icp'(ar),

l'inégalité (2) entraîne

On a de plus, d'après ce qui précède,

pour toute valeur x comprise entre — Xq et Xq,

PROPRIÉTÉS DES FONCTiONS UNIFORMÉMENT DIFFÉRENTIABLES. l3l

Le nombre Xq une fois fixé, on peut, puisque 'f (^) admet une dérivée ^'(^), déterminer un nombre positif Iiq tel que, sous la seule condition

\h\< Ao,

on ait les deux inégalités

(3) icp(:ro,/0 — 9'(^o)|< \y

Rapprochant d'une part les inégalités (2) et (3), d'autre part les inégalités (2)' et (4), on conclut

(6) l?(-^o, /OKy-

Ces deux relations ont lieu pour toutes les valeurs de h dont le module est inférieur à ho, nombre qui ne dépend que de Xq.

Je dis qu'elles subsistent quand on y remplace Xq par tout nombre x compris entre — x^ et x^- Pour le prouver, laissons h invariable et prenons la dérivée de cp(jc, h) par rapport à x\ nous avons

Supposons d'abord x compris entre zéro et x^, La dérivée cp' étant positive et croissante pour toute valeur x qui appartient à cet intervalle, le second membre est positif et ^{x, A), qui est positif, augmente avec x] l'inégalité (5) entraîne donc

(7) l?(^,/OI< y-

Soit maintenant x compris entre zéro et — Xq, Nous avons vu que, si m est impair, la dérivée cp' est positive et décroissante; donc le second membre de l'égalité (6)' est négatif et ç(^, A), qui est positif, diminue quand x augmente^ l'inégalité (6) entraîne donc l'inégalité (7). Si m est pair, la dérivée cp' est négative et croissante : le second membre de l'égalité (6)' est positif et <p(^, /i), qui est négatif, augmente avec x\ sa valeur absolue diminue donc

I 32 GHAP. Yf. — PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS UNIFORMÉMENT DIFFÉRENTIABLES.

quand x augmente, et Tinégalité (6) entraîne encore Tinégalue (7).

Il n'j a plus maintenant qu'à comparer les inégalités (a)" et (7) pour trouver

Cette inégalité a lieu pour toute valeur x^ comprise entre — x^ et Xqj SOUS la seule condition que h soit, en valeur absolue, inférieur au nombre Ao qui ne dépend que de^To. Elle complète notre démonstration : il suffit, en effet, de comparer Aq avec le second membre de l'inégalité (i), et de désigner par a le plus petit de ces deux nombres pour être en droit d'affirmer que l'inégalité (8) est vérifiée, quel que soit ar, sous la seule condition | A | <^ a. En

conséquence, la fonction x'^e '* est uniformément différentiable dans tout intervalle.