I. — Continuité des séries de fonctions

1. Si Ton ajoute des fonctions continues, en nombre illimité, c'est-à-dire arbitraire et aussi grand qu'on veut, la série obtenue

est-elle une fonction continue? Est-elle même une fonction?

Pour que cette série soit une fonction dans un intervalle (a, 6), il faut d'abord qu'elle soit convergente pour tout nombre x compris entre a et 6, quand on lui donne pour termes successifs

des nombres pris suffisamment loin dans chacune des suites convergentes qui définissent respectivement les diverses fonctions

f\ î fit • • -j ///j Nous avons expliqué plus haut (Chap. I, n'* 1 5)

ce qu'il faut entendre par là et indiqué un moyen de faire, quand c'est possible, qu'il en soit ainsi.

Si une série de fonctions est convergente dans l'intervalle (a, 6), c'est que, pour tout nombre x donné entre a et 6, on peut assigner un entier n tel que le reste correspondant de la série.

l34 CHAPITRE VU.

soit et demeure, quand p grandit, inférieur en valeur absolue à une fraction £ aussi petite qu'on voudra.

2. Mais la convergence peut aflecterdeux modes opposés. Voici d'abord le plus général. Il arrive qu'o/?. ne peut pas, étant donné t^ déterminer un indice n tel qu^on ait

pour tout nombre x compris dans l^ intervalle (a, b). Soit pour exemple la série