XX X

x-^i (a? -H i)(2a7 -+- 1) '■* [^n — \)x -\-\\{n:r -^ \) En vertu de Tidentité

\{n — \)x ->r\\{nx -\- \) (n—\)x->(-\ nx->r\

la somme S^ des n premiers termes se réduit à i

La série est donc convergente pour toute valeur x comprise entre zéro et un nombre positif quelconque 6, puisque S^ tend vers l'unité (*). Mais si l'on forme le reste

et qu'on prenne

on voit que ce reste est égal à -• Ceci montre clairement que le

nombre n des termes qu'il faut prendre dans une série convergente pour que le reste tombe au-dessous d'une fraction donnée s est en général variable avec^.

Parfois, au contraire, une série ayant pour termes des fonctions de X

/l {oc) -\-Mx) H- . . . -^fn{0C) H- . . . ,

(*) La série considérée est une fonction de x dans tout rinlervalle (o, 6), puisqu'elle est convergente pour tout nombre intermédiaire entre o et ô, ainsi que pour et b. Mais ce n'est pas une fonction continue de x dans tout l'intervalle, puisqu'elle est visiblement nulle pour a? = o et égale à i pour a; > o.

SÉRIES DE FONCTIONS. l35

on peut, (Hant donnée une fraction e aussi petite qu^on veut, déterminer n de telle sorte que le reste correspondant soit en valeur absolue inférieur à e, et cela quel que soit x dans un intervalle (a, h). On dit alors que la série est uniformément convergente dans V intervalle (a, 6). Si l'on veut évaluer une telle série avec une certaine approximation, la même quel que soit x^ on n'aura qu'à prendre loujours|.le même nombre de termes. Cette autre manière d'énoncer la définition des séries uniformément convergentes manifeste leur importance, accrue encore par leur continuité.

3. Théorème. — Une série, dont les ternies sont des fonctions de X continues dans un intervalle (a, b) et qui est uniformement convergente dans cet intervalle, est une fonction continue dans ce même intervalle.

Soit S,/ la somme des n premiers termes de la série. Nous voulons prouver qu'étant donnée une fraction e, aussi petite qu'on veut, on peut trouver un nombre a tel que, pour deux nombres quelconques x et x'^ compris entre a et 6 et différant de moins de a, on ait

I Sn+p'{x') — S«+,,(ir) I < £.

A raison de la convergence uniforme, nous pouvons choisir n de façon que le reste ^n^pi^) soit en valeur absolue moindre

que -> quel que soit x entre a et b.

Le nombre n étant ainsi déterminé^ ^n{^) est une fonction continue dans l'intervalle (a, 6), comme résultant de l'addition de n fonctions telles.

On peut donc satisfaire aux deux inégalités qui expriment cette propriété

j:r'-^<ia|, |S„(^')-S„(a7)|< ^

Le reste Vi,i^p'{x') sera moindre en valeur absolue que r^ comme R„^^(^-). Dès lors, la différence

l36 GHAPITRK VII.

étant exprimée par trois termes dont chacun est, en valeur absolue, moindre que e : 3, la proposition est établie.