II. — Suites rationnelles et suites irrationnelles

4. Nous avons maintenant à nous poser une question qui est vitale pour l'Analyse, car la réponse à cette question décide du sens dans lequel devra se développer l'Analyse tout entière.

Nous avons vu (Introduction, § II) qu'on peut concevoir la limite d'une suite indéfinie de grandeurs dont les différences mutuelles vont en s'évanouissant. Les suites convergentes de nombres jouissent-elles d'une propriété analogue? Étant donnée une suite convergente, existe-t-il un nombre déterminé, dont les termes de la suite diffèrent aussi peu qu'on le veut quand leur rang est assez élevé? La première fois que cette question se présente en Arithmétique, c'est à propos de la réduction des fraclions ordinaires en fractions décimales, qui revient aux progressions géométriques décroissantes. Celte fois, la réponse, ainsi que nous venons de le rappeler (n° 1), est affirmative. Mais il n'en est pas toujours de même, ainsi que nous le prouverons, après avoir posé le problème en termes précis.

Etant donnée une suite indéfinie de nombres

s'il existe un nombre A, entier ou fractionnaire, positif ou négatif, tel que la différence A — Un devienne pour n suffisamment grand et reste ensuite toujours moindre en valeur absolue que toute fraction positive donnée e, aussi petite qu'on veut, on dit que les termes de la suite tendent vers A et que A est la limite de la suite.

Tel n'est pas le cas des suites que nous allons considérer.

5. Théorème. — Les racines m^^^^^, aux diverses unités décimales près, d^un nombre K^ qui n^ est pas une puissance m^^^^ exacte, forment une suite convergente et ne tendent vers aucun nombre énonçable.

Soient, en effet,

lO lO* lOP \0^

ces racines calculées par défaut. Je dis qu'elles vont en croissant ou que, si r est plus grand quejt?, l'inégalité

Xr Xp