II. — Dérivées des séries

4. La définition que nous avons donnée de la dérivée d'une fonction quelconque est immédiatement applicable à la dérivée d'une série

La série admet une dérivée, si la suite

est convergente lorsque h, A', ... est une suite arbitraire de nombres tendant vers zéro. Les indices m, n doivent être assez grands pour que Sm{^-\- h) diffère des sommes S,;i+i, S;„^2î ••• etS„(^) des sommes S,i+,, S/,^21 ... de moins de ht\ de même S,„' et S,i' doivent différer de moins de Ae' des sommes qui viennent après elles, et ainsi des autres sommes qui figurent dans la suite (i), les nombres e, e', ... étant donnés et formant une suite qui converge vers zéro.

Si les termes /< (^), /2(«^)î • • • •. qui composent la série S, ne sont pas des nombres déterminés, mais font eux-mêmes partie de suites convergentes, on pourra toujours, dans chacune de ces suites, les prendre à un rang suffisamment éloigné pour que, s'ils vérifient les conditions précédentes, ces conditions restent vérifiées lorsqu'on remplacera ces termes par n'importe quels autres venant après eux dans leurs suites respectives.

Le cas le plus intéressant est celui où chacune des fonctions /<, /a, . . . admet une dérivée. Appelons o- la série formée par ces dérivées

Ici un fait curieux est à remarquer. Il peut arriver que la série S(:r) admette une dérivée, et que la série o- soit convergente, sans que <t représente la dérivée de S. Voici la raison générale de ce fait, qui pourrait sembler paradoxal. Il est bien vrai que, si Von

SÉRIES DE FONCTIONS. iSy

se donne e et si l^on fixe /?, on peut déterminer un nombre a tel que, pour toute valeur h de module inférieur à a, on ait

Mais, SI Von se donne e et a, il peut arriver que, pour certaines valeurs h de module inférieur à a, on ait

— <Tn(^) >îî,

t\ étant un nombre que l'on peut calculer, et cela quelque grand que soit n.

Alors la série S (a?) n'admet certainement pas pour dérivée o'(^), car la suite

S„(a7-+-A)-S«(a7) S^^Car-h/?') — S«'(a7) j^ , ^, , ...

n'est pas équivalente à la suite o-„(^), o',ï'(^), . . - alors même que ces deux suites sont convergentes (').

Au contraire, si, se donnant e, on peut déterminer un entier r et une fraction a tels que, pour toute valeur h de module inférieur à a, on ait

la série S admet pour dérivée la série <t, si toutefois cette dernière est convergente. L'entier/? est quelconque, mais cependant assez grand pour que, h une fois choisi, Sn^p diffère des sommes suivantes de moins de Ae : 2.

En effet, si m désigne un entier supérieur à /i -h jt?, le quotient

différera évidemment de <^r{^) de moins de 2e; dès lors la suite

(*) Remarquons que la suite h, h\ ... n'est pas, en général, une suite quelconque de noTibres tendant vers zéro, mais une suite bien déterminée de pareils nombres.

l38 CnAPITRE VJI.

sera équivalente à la suite (t^(^), (T,.(:r), .... Comme cette dernière est convergente, par hypothèse, la première Test aussi ^ c'estrà-dire que S(^) admet une dérivée, qui est précisément la série (t(jc).

5. Les éclaircissements qui précèdent vont nous faciliter la démonstration du théorème suivant, dont Timportance est grande, parce qu'il permet, dans certains cas, de démontrer qu'une série dont les termes sont des fonctions de x admet une dérivée.

Théorème. — Etant donnée une série

dont les termes sont des /onctions de x^ uniformément différentiables, si la série formée par les dérivées de ces termes est uniformément convergente, elle est la dérivée de la série S(^).

I® Donnons-nous la fraction e et déterminons l'entier r parla condition

I Al (^) + A2(^) -^ . . . + Ap(^) I < I

quel que soit x dans Tinlervalle que l'on considère ; c'est possible, puisque la série

est supposée uniformément convergente.

2.^ L'entier r étant fixé, nous pouvons déterminer un nombre a tel que, pour toute valeur h de module inférieur à a, la somme

f,{x-^h)-fy{x) , M.T-^h)-Mx) . f^(^o,+ h )-fr{x)

Il -^ h ^'"-^ -R

diffère en valeur absolue de moins de - de la somme

3** Ayant fixé A, prenons p assez grand pour que Snj^-p diffère des sommes suivantes aussi peu qu'on voudra.

Maintenant, p étant fixé, S^+^ est une somme d'un nombre déterminé de fonctions uniformément différentlables. Elle est donc elle-même une fonction de celte nature; nous pouvons lui appli-

SÉRIES DE FONCTIONS. I Sg

quer le ihéorème des accroissemenls finis et écrire

Sr+p((r-h h) —Sr-^.p{cr)

Or dans la suite Ç<, Ço, . . . nous pouvons prendre Ç/ assez éloigné pour que Ton ail

De la dernière égalité et de toutes les explications q-ui précèdent résulte évidemment

ce qui prouve que S(^) admet une dérivée et que cette dérivée est la série <r(^).

Remarquons que ce théorème n'exige pas que les termes de la série S soient des fonctions uniformément différenliables : il suffit qu'on puisse leur appliquer la formule des accroissements finis.