III. — Fonctions continues sans dérivée
6. Les fonctions douées de dérivées, bien qu'elles soient les seules qui se présentent dans les applications de TAnaljse, n'en doivent pas moins, d'un point de vue général, être envisagées comme exceptionnelles. Il est très facile de trouver des fonctions gui rHont pas de dérivée pour certaines valeurs de la variable.
Ainsi la fonction \/x n'a pas de dérivée pour x=o] car, si l'on forme le rapport
k \/ Il — o T
on voit qu'à la suite A, A', //, . . . , supposée converger vers zéro, correspond la suite
v/^2 yh'î -yw-L
qui n'est pas convergente.
l4o CHAPITRE YII.
La fonction x sin - n'a pas non plus de dérivée pour ;r = o; on
a, en effet,
, h sin r o
Or, si A, A', W . . . . forment une suite convergente ayant pour limite zéro, la suite
. I .1 .1 sinyî sin^-, > sin-r^> ••• n n h.
n'est pas convergente; son mode de divergence est tout autre que celui de la suite considérée dans l'exemple précédent.
7. Il est plus intéressant et aussi plus difficile de former des fonctions continues qui n'ont de dérivée pour aucune valeur de la variable. C'est à quoi va nous servir la remarque suivante, d'un caractère très général.
Partons d'une série
uniformément convergente dans un certain intervalle, et dont les termes, uniformément différentiables, ont des dérivées premières jouissant de la même propriété et des dérivées secondes finies, dans l'intervalle considéré. S(^) est continue dans cet intervalle (n«3).
Soit n un entier assez grand pour que Ton ait
\fn-\-\{x)-\-f„^^{x)-^..,-\-fn+p{x)\ < p„,
pn étant une certaine fraction donnée, aussi petite qu'on veut. Une fois n fixé, nous déterminerons h en fonction de n par une loi particulière que nous indiquerons tout à l'heure. Alors, h étant choisi, nous prenons/? assez grand pour que la somme ^n+p diffère aussi peu qu'on voudra des sommes d'indice plus élevé.
Développons la différence S,/(;r4-A) — S«(:c) par la formule de Taylor, limitée au terme en h^\ cela fait, ajoutons au second membre les termes qui forment la différence
S«Hp(a7-f- A)— S„4-/7(^)— [S„(iF-l-A)— S,;(ar)],
SÉRIES DE F0I>ïGT10I<ïS. l4l
nous aurons ainsi
Sn+p{^ -h h) — Sn+p(x)
L'ensemble des deux derniers groupes de termes est inférieur à 2p,2. Si, d'autre part, nous remplaçons les dérivées secondes, qui sont supposées finies, par des limites supérieures de leurs valeurs absolues, nous obtenons une somme t,j supérieure, dans tout rintervalle considéré, à la valeur absolue du coefficient de A^ : 2. De là résulte que l'on peut écrire
Maintenant, nous allons déterminer \h\ par la condition de rendre minimum, quand n est fixé, le second membre de cette inégalité. Ce second^membre est une somme de deux termes positifs dont le produit est constant; cette somme est minima quand ces deux termes sont égaux, c'est-à-dire quand
1^1 =Vë-
D'après cette détermination, quand on fera croître /i, on obtiendra des valeurs successives de A qui auront pour limite zéro, car p^ tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, tandis que t,, ne peut que croître. Si l'on porte cette valeur de | A| dans Tinégalité précédente, il vient
ff,i(a7)
On peut maintenant signaler plusieurs cas où la série S(^) n'aura pas de dérivée.
1° Si le produit p,/T,i tend vers zéro, quand n grandit indéfiniment, et si la série ^{x) est divergente, quel que soit d'ailleurs son mode de divergence, la série S(^) n'a pas de dérivée. En effet, la suite
est divergente, comme équivalente à la suite ^n{x)s ^n'{x)^ ....
l42 CHAPITRE Vil.
51° Si le produit p,2T,i reste fini quel que soil /?, et si Ja série a-,i(:c) est divergente, de cette divergence qui consiste en ce que la valeur absolue des termes croît indéfiniment avec n, la série S(^) n'a pas de dérivée.
3** D'une manière plus générale, S{a:) n'a pas de dérivée si le rapport
reste en valeur absolue inférieur à un nombre moindre que l'unité, la série ^{x) étant divergente comme il vient d'être dit; dans ce dernier cas, le produit p^T^ peut croître indéfiniment avec n.
8. Voici un cas très remarquable où il est facile de former le produit p/jTrt et de reconnaître que la série n'a pas de dérivée. Supposons que les termes de S(^) soient tous de la forme
la fonction uniformément différentiable f{t) restant en valeur absolue moindre qu'un certain nombre M pour toutes les valeurs possibles de t et sa dérivée seconde toujours plus petite qu'un nombre a. En ce qui concerne les coefficients a,^, on suppose qu'ils sont tous positifs, que leurs inverses forment une série convergente et que le rapport de chacun d'eux au suivant reste inférieur à un certain nombre q moindre que l'unité. Calculons d'abord p,,. On a visiblement
\ f(aa^)
an
donc prt est nécessairement inférieur à la somme de la série convergente
On peut donc écrire
p,i< IH 1 h. . . ) < (l-4-ûr -t- q
