SÉRIES DE FONCTIONS. I^S

OU finalemeot

IM

Pn<

«/i-Hl(l — ^)

Pour évaluer T«, il faut former les dérivées secondes des termes de S(^); Texpression générale de l'une de ces dérivées est a;i/"(a«^), nombre inférieur à [xa;,. On a donc

'tw < î^(«l -+- «2 -t- • . • + «« ^

Or le second membre, qu'on peut écrire

ixan ( I H 1 h . . . ) ,

est inférieur à

C'est là une limite supérieure de t„.

Des deux résultats qui précèdent nous concluons

M fjL an.

(1 — ^)2 a„-Hi

Si le symbole fi^t) représente sin^, les deux limites M et yi peuvent être prises égales à i, et il vient

Appliquons ceci à la série

^ ^ Jmd i.'x...n.7.r.

Dans cet exemple, on a

Le rapport an l cin^\ devient donc aussi petit qu'on veut et, par suite, 0,1 T« tend vers zéro. D'autre part, la série ^{x) des dérivées

l44 CHAPITRE VII. — SÉRIES DE FONCTIONS.

premières est divergente, car, pour toute valeur

tn P

tous les termes de cette série, à partir du terme cos(2irjr/>!), deviennent égaux à ziii. La série S(:r), bien que continue dans tout intervalle, n'admet donc de dérivée pour aucune valeur x.

SÉRIES ENTIÈRES

Parmi les séries dont les termes sont des fonctions, les plus remarquables sont celles qui ont pour termes successifs les puissances croissantes entières et positives de la variable : ce sont les séries entières dont les propriétés sont étroitement liées à celles des fonctions appelées fonctions analytiques. Nous ferons dans le présent Chapitre une étude assez détaillée des séries entières et nous appliquerons les résultats que nous aurons obtenus à la définition des fonctions sinus et cosinus, dont nous établirons les propriétés fondamentales.