I. — Intervalle de convergence et séries dérivées

1. La première question qui se pose relativement aux séries entières est celle-ci : une telle série est-elle, dans un certain intervalle au moins, une fonction de x'i II y a des séries entières qui ne convergent que pour ^ = o. Telles sont les suivantes :

En effet, quelque petit que soit x^ on peut déterminer n de telle façon que le produit de x"^ par n\ ou par /i'* soit en valeur absolue supérieur à l'unité. A partir de ce rang-là, les modules des termes vont en augmentant, les deux séries sont donc divergentes. De telles séries ne sont pas des fonctions de x^ puisqu'à tout nombre déterminé x elles font correspondre des sommes S,i(.r), ^n^\{^)-> • • • qui ne forment pas une suite convergente.

l46 CHAPITRE YlII.

Mais il y a des séries entières

qui sont convergentes pour toutes les valeurs de x comprises dans ua certain intervalle. Ces séries remplissent, comme on le voit immédiatement, toutes les conditions requises (Chap. II, n° 3) pour être des fonctions de x,

La détermination de l'intervalle dans lequel une série entière est convergente résulte d'un théorème fondamental, dû à Abel.

2. Théorème. — Si, pour x =Xo^ les modules des différents termes d\ine série entière ne dépassent pas un nombre A, la série est absolument convergente pour toute valeur x de mo^ dule moindre que Xq. De plus, elle est uniformément convergente dans tout intervalle ( — Xi^ Xi) plus petit que Vinter^ valle ( — Xq^ Xq).

Calculons une limite supérieure du module du reste de la série, c'est-à-dire de la somme R« d'un nombre quelconque de termes après le (/i 4- i)^^"^. L'expression

I R«,/. I = I a«-Hia:«+i-4-. . .-h a^+^^x'^^P \ peut s'écrire

'1+2 -^an^lXQ

n+p / XY+P\

D'après les suppositions faites, on a donc

d'où il résulte, pour/? quelconque,

Xq I

On voit que R« tend vers zéro quand n augmente indéfiniment.

De plus, si X est compris dans l'intervalle ( — j:^, ^4), Xi étant d'ailleurs inférieur à Xq^ mais aussi voisin qu'on voudra de ^o? on a

Xi\

fi

Xq

SÉRIES ENTIÈRES. 1 47

Cette limite de |R,i| étant indépendante de x^ la série S(^) est uniformément convergente dans l'intervalle ( — x^ , x^. C'est donc, d'après un théorème général antérieurement établi (Chap.VIl, n° 3), une fonction continue de x dans tout cet intervalle.

Inversement, on démontre sans difficulté que, si S(j;) est divergente pour a: = x'^^ elle est divergente pour toute valeur x de module plus grand que | ^'^^ [. D'où résulte cette propriété remarquable : V intervalle positif où S {x) est une fonction de x a la même étendue que ^intervalle négatif oà ^{x) possède cette propriété,

3. Séries dérivées, — Nous appellerons série dérivée {^)d^ une série entière S (^) la série entière S'(^) formée parles dérivées des termes de S(:r).

Pfcs généralement nous appellerons /i'<^'»^ série dérivée d'une série entière S(x) la série entière S^'*^(^) formée par les dérivées d'ordre n des termes de S(^).

Ces diverses séries dérivées jouissent de la propriété commune d'être convergentes dans tout intervalle ( — ^i, Xi) plus petit que Vintervalle de convergence ( — Xq^Xq) de la série S(^),

C'est ce qui résultera immédiatement de l'existence d'une limite supérieure pour la valeur absolue de S^''^(^) dans l'intervalle ( — ^j, Xi), Pour la série

on a, par définition,

St«^(a?) = nlan-h '—a„^iX-¥- ;— ^a,tH-2a?*-H. . .,

ce qui peut s'écrire

cfn)/ \ ï r f « (n-t-i)! n+i X

S(«>(ar)= — \n\aax^'\-^- —^a„,^^x^ —

(') Cette dénomination sera justifiée un peu plus tard, quand nous auroas démontré (n"7) que la série S' (a?) est la dérivée de la série S (a?).

l48 CHAPITRE VIII.

On a donc évideinmenl

et, à plus forte raison,

' ^ ^' jTj L 1 371 1.2 a:i J

Remarquons que la série entre crochets représente

(-iim

comme on peut s'en assurer facilement (*). On a donc, pour toute valeur x comprise entre — x^ et x^^

('"kl)

Telle est la limite supérieure que nous voulions obtenir.