II. — Fonctions analytiques et séries entières

4. Fonctions analytiques, — On dit qu'une fonction /(:c) est analytique pour une certaine valeur x, si Ton peut déterminer un nombre positif a tel que, h étant un nombre quelconque compris entre — a et -h a, l'expression de/(.r-+-A) soit développable en série convergente ordonnée suivant les puissances entières de A.

D'après cette définition, une série entière S(^), convergente pour d'autres valeurs que ^ = o, est analytique pour x^=o. Nous allons démontrer qu une série entière est analytique pour tout nombre x appartenant à son intervalle de convergence. Le développement de S(^-h A) par la formule de Taylor nous

(*) Il suffit d'appliquer la formule de Maclaurin (Chap. VI, n» 12) à la fonction (i— Ç )-"-', dans l'hypothèse | Ç | < i; le terme complémentaire tend alors vers zéro quand le nombre de ceux qui le précèdent augmente indéfiniment. On peut aussi arriver par d'autres voies à ce résultat.

SÉRIES ENTIÈRES. l49

servira d'ailleurs dans toute la théorie des séries entières, dont il peut être considéré comme le fondement.

5. Théorème. — Si x et x -\- h sont deux nombres compris dans r intervalle de convergence de la série entière S(j;), on peut développer S(^ + ^) en série convergente suivant les puissances de h.

Avant d'établir l'importante formule

S(a7-+-/0 = S(a7)-f-~S'(a7)H--;-;^S"(ar)-H...+ ;;^S('*>(ar)-

disons quelle est sa signification précise : étant donnée une fraction positive e, aussi petite quon veut y on peut déterminer un entier r assez grand pour que V expression ^r^t-qX^'^^ — '^'•+y(^) diffère de moins de e de la somme

7s;^^.(^)+^s';,p.(^)-f-...+ ^sj.y;,„(^),

n étant un entier quelconque supérieur à r; et yj, y, /?<, P27 • • -î Pn des entiers positifs absolument quelconques. Les indices inférieurs marquent le nombre de termes qu'on prend dans la série proposée S(^) pour calculer chaque série dérivée. Soit p un entier positif indéterminé; écrivons

Sr-+-p(^)=Sr(:r)-+-R,.(a7), Sf.+p(x -h h) = Sf.{x -{- h)-h Rr(a7 -h A),

et calculons la différence Sr^p(x -\- h) — ^r+p{^)^ en développant les divers binômes (x -\- h)"^ qui figurent dans Sr+p{x-hh)el ordonnant les puissances croissantes de A. Nous trouvons ainsi

-4- ^ S^;i^p(x) -h a„+i A«+i + . . .-h a,.+pA''+/,,

Tindice n étant inférieur à r-\-p. Au lieu de cela, ne prenons dans S(x) que r-hpt termes pour calculer le coefficient de h; n'en prenons que /'4-p2 pour calculer celui de A^-, ..., que

IDO CHAPITRE TIII.

r-^pn pour celui de A'', . . ., les entiers positifs /?o /?2> • . • ^ /?/i, ••• étant arbitraires, mais inférieurs dp.

Certains des termes primitivement calculés (termes en A, h^^ ...) se trouveront reportés à une partie complémentaire du développement que nous désignerons par t, et nous aurons

Si n^ r^ le terme complémentaire t se compose de termes empruntés exclusivement à Rr(x + A), puisque Sr(^ -1- /^) ne donne que les suivants

^s;(^)-f-^s';(:r)-^...+ ^^sir^(^),

conservés, par hypothèse, dans le développement qui précède t. En conséquence, | t | est plus petit que la limite supérieure trouvée ci-dessus (n° 2) pour [Rrh quand l'argument (ici ^+/t) est en valeur absolue moindre que Xq- On a donc

"kH^I

et le second membre peut être rendu plus petit que ^ pour r suffisamment grand.

Soient maintenant gr, et q deux entiers positifs absolument quelconques. Quand r est suffisamment grand, on a

I Sr+^,(/n- h) — Sr+p(x + A) : < I R,.(a: H- h) I

par conséquent, le premier membre est moindre que ^» Dans les mêmes conditions, on a

le premier membre est donc moindre a fortiori que la limite

qui tombe au-dessous de:;'

SÉRIES ENTIÈRES. l5l

L'inégalité annoncée est établie par là; car p ayant disparu, la restriction précédemment imposée aux entiers /?|, p^^ ..., pn tombe d'elle-même, ainsi que celle qui était imposée à n,

6. En s'appuyant sur le résultat précédent et considérant S(^ H- A) comme une série entière par rapport à leur variable A, on arrive immédiatement à cette conclusion importante :

Théorème. — Si une fonction f{x) est analytique pour le nombre oCj f{x + h) étant développable suivant les puissances entières de h pour tout h moindre en valeur absolue qu^un certain nombre a, cette fonction f{x) est analytique pour tout nombre x' compris entre x — a et x '\- ol.

En d'autres termes, ayant choisi arbitrairement un nombre x' entre x — aet^-j-a, on pourra déterminer un nombre positif a! tel que A étant quelconque dans Tintervalle ( — a, +a),/(^'+A) soit développable suivant les puissances entières de h par la formule de Taylor.

III. — Di£férentiation des séries entières; développements en série.

7. Théorème. — Une série entière S(^), convergente dans V intervalle ( — ^o? ^o)> ddmet une dérivée pour toute valeur x supérieure à — x^et inférieure à Xq. Cette dérivée est égale à la série formée par les dérivées des termes deS{x)^et la fonction S{x) est uniformément différentiable dans tout intervalle ( — ^4, x^) plus petit que son intervalle de convergence.

Pour établir ce théorème, reportons-nous à la démonstration qui vient d'être donnée (n*5) de la formule de Taylor. On a trouvé

Sr-h7,(^ -h ^) — S^-H<7(â7)

en posant

p = T — [Sr+7, (a? + A) — ^r-^p{x + h)\ -4- [S;.H.y(a?) - S;h-p(^)],

et l'on a reconnu que t et le terme suivant sont l'un et l'autre moindres en valeur absolue que

Xq

Xq

tandis que Ton avait

\Sr^g(x)-^Sr+p(x)\<A\- I ^0

On peut donc écrire

Xq

Xo

Or :r et x -i- h sont compris entre — Xi et ^r^. Si donc on remplace ces deux nombres par ^i, on majore encore le second membre et l'on trouve, a fortiori,

lPi<

de sorte que l'on peut poser

Formons maintenant la différence

A = 2 j^ ^ br+p,{x).

Nous obtenons immédiatement

Or nous avons trouvé (n** 3) pour la valeur de |S^"^(^)| une limite qui sera majorée si l'on remplace x par a:^, ce qui donne

An!

Appliquons ce résultat aux diverses dérivées qui composent

SÉRIES ENTIÈRES. l53

l'expression de A. Nous avons évidemment OU, a fortiori,

Ecrivons maintenant que le premier terme du second membre est moindre que e : 2. Nous obtenons ainsi une inégalité du premier degré en | A |, d'où Ton tirera

a étant un nombre positif indépendant de x, qu'il serait facile d'écrire. Choisissons pour h une valeur absolument quelconque, pourvu qu'elle satisfasse à l'inégalité ci-dessus. Ayant fixé A, nous pouvons prendre l'entier r assez grand pour vérifier l'inégalité

Alors I A| est effectivement moindre que e, ce qui montre que la série S(^) a pour dérivée la série S'(^). En outre, comme a ne dépend pas de x, S(x) est uniformément différentiable dans tout l'intervalle ( — ;r,, Xi).

Il en est évidemment de même des dérivées successives de S(x) : ainsi, l'on peut déterminer un intervalle ( — ^<, Xi) plus petit que l'intervalle de convergence ( — Xq, Xq) de S(j:), mais aussi rapproché qu'on veut de celui-là, et qui sera tel que la série S(^) et l'une quelconque de ses dérivées successives soient uniformément différentiables dans cet intervalle.

8. Remarque sur les développements en série entière. — Pour établir la formule de Maclaurin (Chap.VI, n° 12), nous avions supposé que la fonction /(or) et toutes ses dérivées étaient uniformément différentiables dans l'intervalle (o,^). On voit que ces conditions sont nécessaires pour que la fonction y*(^) puisse

l54 CHAPITRE VIII.

être représentée par uae série entière

ao-h aix -\-. . .-h afiix;^-h, . .,

Ces conditions ne sont pas suffisantes, comme on le reconnaît par l'exemple de la fonction

que nous avons étudiée précédemment (Chap. VI, n** 13). Nous avons montré que cette fonction et ses dérivées de tous les ordres sont uniformément différentiables dans tout intervalle, et qu'elles sont toutes nulles pour x=o. Tous les coefficients «o? ^tj •••7 a^, ... de la série à laquelle conduit l'application de la formule de Maclaurin étant nuls, la série disparaît et le développement est impossible, ou plutôt il est illusoire, se réduisant au seul reste, qui est nécessairement identique à la fonction elle-même.

Pour qu'une fonction, uniformément différentiable ainsi que ses dérivées de tous les ordres, soit développable en série entière, // faut et il suffit évidemment que le reste de la formule de Maclaurin tende vers zéro, quand n croît indéfiniment. Mais cette condition n'est qu'une tautologie, dont l'énoncé n'apprend rien, puisque l'expression du reste dépend d'une suite convergente dont on ne sait pas, en général, calculer les termes.

Cependant, l'étude de ce reste peut, dans certains cas particuliers, montrer la possibilité du développement. Par exemple, si dans ^intervalle (o, x) la fonction et toutes ses dérivées restent en valeur absolue inférieures à un nombre M, le reste qu'on obtient en faisant/? = n sl lui-même son module moindre que

et tend visiblement vers zéro quand n devient infiniment grand. Nous n'insisterons pas sur les exemples classiques dans lesquels cette circonstance se présente.

SÉRIES ENTIÈRES

IV. — Propriétés relatives aux racines d'une série entière et de ses dérivées.

9. Nous allons démontrer un certain nombre de théorèmes qui font ressortir la grande analogie des séries entières avec les polynômes. JNous chercherons d'abord une limite inférieure de la valeur absolue des racines d'une telle série

S(^) = «oH- «lO? H- «2^^-+-

On a évidemment, quel que soit x dans l'intervalle de convergence,

I S(a?)| > |ao| — |«i^-t-«î^' + .- .|.

Le second terme du second membre peut s'écrire

a\XQ-

Xq

Si Xq désigne la limite supérieure de l'intervalle dans lequel la série S(^) est convergente et A le nombre auquel sout inférieurs tous les modules

l'expression considérée est visiblement moindre que

On a donc, quel que soit x^

|S(a7)|>|ao|-A

Si X est une racine de S(^), cette inégalité donne

Plus généralement, si la série S(^) a ses premiers coefficients nuls, soit an le premier coefficient différent de zéro. On verra

l56 CHAPITRE VIII.

de même que toute racine non nulle de S(^) satisfait à Vinégalité

On a ainsi une limite inférieure delà valeur absolue des racines de la série S(^).

10. Théorème I. — Si une série entière est nulle, ainsi que toutes ses dérivées, pour la valeur x = o, elle est nulle, ainsi que toutes ses dérivées, dans tout V intervalle de convergence.

Appliquant à une série entière la formule de Maclaurin, qui n'est qu'un cas particulier de celle de Taylor, nous sommes en droit (n° 5) d'écrire

Ce développement, qui est valable pour tout nombres compris dans l'intervalle de convergence, rend la proposition évidente pour S(^). La conclusion s'étend aux séries dérivées, qui sont des séries entières ayant même intervalle de convergence que la série proposée (n® 3).

Théorème II. — Si une série entière admet comme racines tous les termes Xt, x^^^ • . ., Xn^ ... d^une suite convergente ayant pour limite zéro, elle est nulle pour tout nombre x appartenant à son intervalle de convergence.

En effet, d'après la formule qui termine le paragraphe précédent (n° 9), aucun des coefficients an de la série proposée ne peut être différent de zéro.

Il résulte de là que les fonctions qui prennent une infinité de fois la valeur zéro aux environs de x = o ne peuvent pas être développées en série entière. Tel est le cas de la fonction

iP^isin (a = I, 2, 3, . . .).

Théorème III. — Si une série entière est nulle pour tous les nombres d^'un intervalle , aussi petit quHl soit, comprenant

SÉRIES ENTIÈRES. iS'J

la valeur zéro, elle est nulle pour tout nombre x appartenant à son intervalle de convergence.

On peut, en effet, constituer des suites convergentes ayant pour limite zéro et dont tous les termes sont des racines de S (a?), ce qui ramène au théorème II.

Si maintenant l'on compare deux séries entières, supposées convergentes dans le même intervalle ( — Xq^ a^o), il suffit de considérer leur différence, qui est une série entière, pour arriver aux conclusions suivantes :

Si deux séries entières ont même valeur pour une infinité de nombres x^^ a?2, • . ., Xn^ • . . tendant vers zéro, elles sont identiques, c'est-à-dire que les coefficients de chaque puissance de X sont les mêmes dans ces deux séries.

Si deux séries entières ont même valeur pour tous les nombres d^un intervalle (o, e), si petit quHl soit, elles sont identiques.

Si une fonction est développable en série entière ^ elle ne Vest que d'une seule manière,

11. Nous allons, au moyen de la formule de ïaylor, étendre les résultats précédents à des suites convergentes qui n'ont pas pour limite zéro et à des intervalles qui ne comprennent pas la valeur zéro.

Généralisation du théorème I. — Si une série entière est nulle, ainsi que toutes ses dérivées, pour un nombre x' compris dans son intervalle de convergence, elle est nulle, ainsi que toutes ses dérivées, dans tout ^intervalle de convergence.

Employons le développement

S{x'-hh) = S{x')-{- -S'(a?') + --.

valable pour tout nombre h inférieur en valeur absolue au plus petit des deux nombres | ^^ — ^' \f \x' -^ Xo\ Supposons d'abord que ce plus petit nombre soit le premier. Par hypothèse, on a

l58 CHAPITRE YllI.

Donc la série S(^'+ h) est nulle pour tout h tel que

\h\<\xç,— x'\\

c'est-à-dire que S(^) est nulle pour tout nombre x compris dans l'intervalle {ix' — x^^ Xq). Si cet intervalle comprend la valeur o, S (a?) est nulle entre — Xo et Xq, d'après le théorème III.

Dans le cas contraire, désignons par x" un nombre compris entre ix' — x^ et x^, La fonction S(a') est nulle pour x=zx" et pour X =^x" -^ h quel que soit A, pourvu qu'on ait

I A| < 07* {ix' — Xq),

Le développement en série

montre que toutes les dérivées de S sont nulles pour x = x'\ On pourra donc raisonner sur x'' comme on l'a fait sur x'. On verra ainsi que S(^) est nulle dans tout l'intervalle {2X^^ — Xq, x).

En répétant plusieurs fois, s'il y a Heu, le raisonnement précédent, on étendra de plus eu plus l'intervalle où S[x) est nulle. Comme on peut prendre ^' aussi voisin qu'on veut de 2x' — Xq, puis ^"' aussi voisin qu'on veut de 2x" — Xqj l'intervalle obtenu après n extensions successives différera aussi peu qu'on voudra de l'intervalle dont la limite inférieure est 2"x' — (2'* — i)^o« Or cette limite sera négative, si l'on prend n tel que 2'*(a:o — x') soit supérieur kx^j ce qui est évidemment toujours possible.

La démonstration se fait de même si x' est plus voisin de — Xq que de Xq.

Par application de ce théorème, on voit que la fonction

e (Jf-«)%

nulle ainsi que toutes ses dérivées (Ghap. VI, n° 13) pour a? =: a, ne peut pas être développée en série entière dans un intervalle ( — Xq^ Xq) qui comprendrait le nombre a.

Remarque, — Rien de ce qui vient d'être dît n'empêche la série et ses dérivées successives d'être toutes nulles pour les valeurs extrêmes de l'intervalle de convergence ( — Xq^ Xq).

SÉRIES ENTIÈRES. iSg

12. Généralisation du théorème IL — Si une série entière admet comme racines tous les termes x^^ x^t . . . , x^,, . . . d^une suite convergente quelconque, comprise dans son intervalle de convergence ( — ^o>^o)> mais n'ayant pour limite ni — Xo^ ni a?o, ^llc est nulle pour tout nombre x appartenant à cet intervalle.

Pour tout h compris dans un certain intervalle, on aura

S{Xp-\- h) = S(xp)-}- - S'(rcp) -h. . .4- — * S(«'(rcp)-i-. . ..

Comme S(^;,) et ^{xp^\) sont nuls, la valeur

it = oc p^\ -^ oc p

annule le second membre; elle est aussi petite qu'on veut, pour/? suffisamment grand. Ceci exige (n"9) que toutes les dérivées de S soient nulles pour Xp\ on est ramené au théorème précédent.

13. Généralisation du théorème III. — Si une série entière est nulle pour tous les nombres d'un intervalle, aussi petit qu'il soit y compris dans son intervalle de convergence, elle est nulle pour tout nombre x appartenant à l'intervalle de convergence.

Cet énoncé se déduit du précédent comme le théorème III se déduit du théorème II.

Corollaire. — Si deux séries entières, convergentes l'une et l'autre dans l'intervalle { — ^o? ^o)> ont même valeur pour tous les nombres d^un intervalle (Xf, X2) aussi petit quHl soit^ compris dans le précédent, elles sont identiques.

En effet, leur différence, qui est une série entière, étant nulle pour tout nombre de l'intervalle {x^ , ^2)? est nulle quel que soit x dans l'intervalle : or nous entendons par là (théorème II) que tous ses coefficients sont nuls.

14. Ce qui précède permet d'établir une importante propriété des séries entières :

Théorème. — Tout intervalle (— ^i, Xs)^ intérieur à l'inter-

l6o CHAPITRE VIII.

çalle de convergence, peut être décomposé en un nombre fini d'autres intervalles dans chacun desquels la série S(:c) est croissante ou décroissante.

En effet, s'il n'en était pas ainsi, la dérivée ^'{x) s'annulerait pour une infinité de valeurs x comprises entre — x^ et x^. Mais cette dérivée est elle-même une série entière. Nous arriverons donc à une contradiction, si nous prouvons qu'on pourrait, avec les valeurs de ces racines, composer au moins une suite convergente.

Or, divisons l'intervalle ( — x^^ +^i) eu deux intervalles égaux; l'un au moins comprend une infinité de racines. On le subdivisera en deux, dont Tun au moins comprendra encore une infinité de racines. On formera ainsi une suite d'intervalles {a^ bn)^ tendant vers zéro, compris chacun dans le précédent et comprenant chacua une infinité de racines. Une suite quelconque de ces nombres racines, x[^ x'^, ..., x'^^ ..., pris respectivement dans les intervalles («<, fe|), («2? ^2)) •••) (<^/n ^/i)> constituera une suite convergente dont tous les termes seront racines de S'(^), ce qui démontre le théorème.

Remarque. — Le théorème n'est pas vrai de l'intervalle total de convergence ( — Xq, Xq), Une infinité de maxima ou de minima pourraient s'accumuler vers ses extrémités.

V. — Application de la théorie des séries entières aux fonctions

circulaires.

15. Nous allons chercher à déterminer deux fonctions de x que nous appellerons sin^ et cos^, satisfaisant, s'il est possible, aux deux équations fonctionnelles

(1) sin(a7 -h A) = sina7C0s// -h cosa? sinA,

(2) cos(a7 -+■ h) = cos^r cos/i — s'mxsinh^

ainsi qu'à la condition d'admettre une dérivée pour x = o, celle de sin^ étant égale à Tunité et celle de cos^ égale à zéro.

Nous ne ferons aucune autre hypothèse sur ces fonctions : nous

SÉRIES ENTIÈRES. l6l

ne supposerons même pas a priori que sin^ et cosa: soient des fonctions continues, ou seulement finies.

Cherchons d'abord les valeurs de sin^ et de cos^ pour x=o. Faisons dans les équations données :c = A = o; il vient

(i') sino = 2 sino coso,

( 2' ) cos o = cos2 o -h sin* o.

On aperçoit immédiatement la solution

sino = o, coso == i.

Je dis qu'il n'y en a point d'autre. En effet, si sino n'était pas nul, on pourrait diviser par sino les deux membres de l'équation (1'), qui se réduirait à

coso = -.

Alors la relation (2') donnerait pour sin^o une valeur négative, ce qui est inacceptable. Ainsi sino est nul ; et, par suite, coso est égal à l'unité.

Cela posé, ajoutons membre à membre les équations (1) et (2), préalablement élevées au carré; nous obtenons

sin2(a7 -+- /i) -h cos2(rF-t- h)= (sin^iCH- cos'a?) (sin»A 4- cos^/i).

Si donc on pose

F(a7) = sin^a? H- cos* a?,

on aura

Nous savons que toute fonction F(^) satisfaisant à cette équation fonctionnelle (Chap. IV, n° 8) est nécessairement de la forme a^, a étant un nombre positif. Nous allons montrer que dans le cas présent cette exponentielle se réduit à Punité.

Cherchons, en effet, la dérivée de F(^) pour x = o. On a,

pour ;r = o, N

Or les relations

sino = p, coso = I G. R. - I. II

l62 CHAPITRE VIII.

enlraînent F(o) = i. On a donc

k . , sinA cos^A — i